| 研究概要 |
以前からの研究に引き続き,可積分系の観点からみた平均曲率一定曲面(CMC surfaceと略す)の一般化について考察した.まず,3次元ローレンツ空間形内の平均曲率を保ったまま,局所的に非自明,等長的に変形できる滑らかな曲面で,臍点をもたず計量が不定値であるもの(時間的Bonnet曲面とよばれる)について調べた.時間的なCM surfaceで臍点をもたないものは時間的Bonnet曲面の例を与える.このような曲面は大まかに分けて,局所的,共形的に,特定の捩率をもつB-scrollとよばれるものと一対一に対応するか,または,generalized Hazzidakis equationとよばれ,Painleve方程式と対応付けられる,3階の常微分方程式に還元できるものであることが分かった.前者は時間的な曲面特有のものである.また,上述とは異なるCMC surfaceの一般化としてユークリッド空間形内の曲面についてharmonic inverse mean curvature surface(HIMC surfaceと略す)とよばれるものが定義されるのと同時に、ローレンツ空間形内の空間的なHIMC surfaceとよばれるものが定義されるが,このような曲面でisothermicなものは上述のようにgeneralized Hazzidakis equationを解くことに帰着される.特にisothermicな曲面の例である回転面について考えると,軸の光的の場合は初等的に解ける解を与えることが分かった.この現象はユークリッド空間形内のHIMC surfaceの場合には現れないものである.以上の結果については,現在,福岡大学の井ノ口順一氏との共著で投稿中である.更に,ローレンツ空間形内の時間的なHIMC surfaceについての基本的な性質についても調べ,現在,井ノ口氏との共著の論文を準備中である.
|
