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2次元多様体が有限な胞体分割を持つと仮定する。ここで、我々は、「組合せ論的カーブショートニング」という新しい問題を考える。つまり、「デジタルカーブ」を「胞体の頂点を通らず、胞体の辺と交差的に有限図交わる多様体上の曲線のホモトピー類」と定義し、デジタルカーブの書き換え系のうち以下の条件をすべて満たすものを「(良い)カーブショートニング書き換え系」と呼ぶことにする。
(a)有限の書き換えから構成される。(b)デジタルカーブの長さを長くしない(c)完備である。(=書き換えのループが発生しない。)(d)ホモトピー合流性(=多様体上ホモトピックな2つの曲線は、合流する。)
胞体分割が、オーソゴナルの場合、トリバレントな場合についての研究はほぼ完了した。胞体分割が双曲的、又はユークリッド的な場合には、カーブショートニング書き換え系は存在する。
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