| 研究概要 |
表題の極限定理を,飛躍を持つ対称マルコフ過程の族について導出するのが目的であるが,そもそも飛躍を持つ対称マルコフ過程の標本路の一般的性質は,ディリクレ形式の枠組みにおいては,よく知られていない.そこで,本年度は,もう一つの目的である確率過程としての漸近挙動を,一次元ユークリッド空間(数直線)上に値を取る,変数指数α(x)をもつ対称安定型過程に対して,いくつかの標本路の性質について研究した.実際,次のような一点の概極性及び,この確率過程の再帰性の条件等の結果を得た.
●数直線上の一点x_0について,適当なx_0の開近傍上で常に指数α(x)が1以下であれば,点集合{x_0}は概極集合となる.すなわち,ほとんど至る所の点から出発した確率過程が点x_0に有限時間で到達するような確率は0となる.逆に,x_0の適当な開近傍上でα(x)が一様に1より大であれば,{x_0}は非概極集合となる.すなわち,ほとんど至る所の出発点から出発した確率過程は,確率1で有限時間内にx_0に到達する.
再帰性については,以下の結果を得た.
●|x|→∞としたとき,α(x)の極限が真に1より大であれば,確率過程は再帰的である.すなわち,どんな空でない開集合にも無限回到達する確率が1である.
これらの結果は,よく知られている指数が定数である,対称安定型過程の性質を含んでる.また,再帰性が,|x|→∞のときの挙動で制御できることがわかったという点でこれまでとは異なった結果となっていると思われる.
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