|
1次元のランダムな媒質の中を動く確率過程について研究を行なった。ランダム媒質としてブラウン運動をとり、その中を動く拡散過程を考えた場合には、媒質がランダムでない場合のものに比べて非常に遅く増大することが知られている。本研究では、1次元の媒質として、正の部分と負の部分に違う確率過程をとり、その中を動く拡散過程の漸近的挙動について考察する。本年度は、負の部分の媒質としてはブラウン運動を、正の部分には媒質はない場合を考え、このようなランダム媒質の中を動く拡散過程の漸近的挙動について研究した。このような媒質の中を動く原点から出発する拡散過程に対し、ブラウン運動を不変にする尺度変換をほどこし、極限操作を行なうと、その極限は、確率1/2で原点を反射壁とする反射壁ブラウン運動に、あとの確率1/2で恒等的に原点にとどまる過程になるという結果を得た(田中洋日本女子大教授との共同研究)。この解析を行なうにあたっては、媒質の自己相似性の利用が有効であった。
今後は、負の部分にはブラウン媒質を、正の部分の媒質としてはブラウン運動以外の拡散過程を考え、このようなランダム媒質の中を動く拡散過程の漸近的挙動について研究することを計画している。媒質としていくつかの拡散過程が考えられるが、媒質に自己相似性がない場合が興味深い。また、媒質として、負の部分と正の部分にブラウン運動以外の二つの異なる拡散過程をとった場合についても、その中を動く拡散過程の漸近的挙動について研究することを計傾している。
|
