| 研究概要 |
Bruckによって研究されたtype(γ)と呼ばれる非拡大写像の性質を詳しく研究し、非拡大半群に対する共通不動点への強収束定理について一連の結果をバナッハ空間において得た。共通不動点への収束定理については、弱収束を示した結果は色々あったが、余分な条件を付けずに強収束を得た結果はほとんどなかったので、画期的な結果である。強収束定理を証明する際に用いた手法を活用することにより、10数年間未解決であったamenable半群に対する非線形エルゴード定理をバナッハ空間で証明した。線形写像の半群に対しては、60年代にDayが結果を得ているが、その非拡大半群への拡張である。
また、バナッハ空間において、非線形発展方程式u'(t)+Au(t)∋f(t,u(t))+h(t)に対する周期解についてコアシブ条件のもとで存在定理を得た。これはヒルベルト空間において得られていたCascaval-Vrabieの結果をバナッハ空間に拡張しとことになる。
さらに、同じ発展方程式に対して変分構造やコアシブ条件を仮定せずに鞍点型の条件のもとで周期解の存在を写像度の理論を用いて得た。u'(t)+Au(t)∋f(t,u(t))+h(t)の形のままでは写像度を計算することは難しいので、方程式をホモトピー変形で線形な方程式に直し、その線形方程式の写像度を調べるという方法で解決した。この結果から楕円型方程式についても解の存在を得ている。数理解析研究所の研究集会や台湾での国際会議(ICMAA2000)で発表したが論文は投稿中である。
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