非線形波動方程式の解の特異性の解析

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10740084
• 研究機関: 静岡大学
• 研究代表者: 太田 雅人 静岡大学, 工学部, 助教授 (00291394)
• キーワード: 非線形 / 波動方程式 / 特異性 / 爆発解 / 大域存在 / 臨界巾

研究概要

半線形波動方程式および連立系の解の特異性および爆発問題に関して以下の研究を行なった。
1.中西賢次氏との共同研究として、波動写像型非線形項をもつ非線形波動方程式の大域的可解性について調べ、滑らかな大域解が存在するための非線形項に対する必要十分条件と小さな初期値に対する初期値問題が大域的に適切となるための解の滑らかさに関する関係について最良と思われる結果を得た。
2.空間3次元における正値冪乗型非線形項をもつ半線形波動方程式系で、小さな初期データに対する初期値問題の古典解の大域存在または非存在について、久保英夫氏と共同研究を行なった。
(1)波の伝播速度が等しい場合に、大域存在と非存在に関する臨海冪をもつとき、劣臨海冪の場合と同じく、任意の小さなデータに対しても有限時間内に爆発する解が存在すること、およびデータの小ささを表すパラメータを用いて解の最大存在時間に関する評価を与えた。
(2)波の伝播速度が互いに異なる場合に、伝播速度の違いが、小さな初期データに対する初期値問題の古典解の大域存在または非存在に関して、どのような影響を及ぼすか、という問題について研究した。非線形項が未知関数の導関数のみに依存し未知関数自身は含んでいない場合と異なり、非線形項が未知関数のみに依存しそれらの導関数には依存しない場合には、伝播速度が異なっても臨界的状況の下で小さな初期データに対して初期値問題の古典解の大域存在が必ずしも得られるとは限らないことを明らかにした。今後の課題として、伝播速度の違いによって解の最大存在時間が延びるかどうか、という問題に興味を持っている。

研究成果

• [文献書誌] Masahito Ohta: "Remarks on blow up of solutions for nonlinear evolution equations of second order"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 8・2. 901-910 (1998)
• [文献書誌] Masahito Ohta, Hiroyuki Takamura: "Remarks on blow-up of boundaries and rates for nonlinear wave equations"Nonlinear Analysis. 33・7. 693-698 (1998)
• [文献書誌] Hideo Kubo, Masahito Ohta: "Critical blow up for systems of semilinear wave equations in low space dimensions"Journal of Mathematical Analysis and Applications. 240・2. 340-360 (1999)
• [文献書誌] Kenji Nakanishi, Masahito Ohta: "On global existence of solutions to nonlinear wave equations of wave map type"Nonlinear Analysis. (発表予定).
• [文献書誌] Hideo Kubo, Masahito Ohta: "Small data blow up for systems of semilinear wave equations with different propagation speeds in three space dimensions"Journal of Differential Equations. (発表予定).