| 研究概要 |
当該期間中に Sp(n,R) の古典型有界対称領域に対して以下に述べる 1,2 に関する研究を行った。1. 最高ウェイト表現の幾何的構成:非コンパクト半単純り一群のユニタリ最高ウェイト表現は無限次元表現の中で,ある種の有限次元性を帯びた特殊なクラスの表現である(コンパクト連結り一群の有限次元既約表現に近い性質をもつ)。まず,この最高ウェイト表現を非コンパクトな複素等質多様体上の正則ベクトル束に係数をもつドルボーコホモロジーの空間に実現した。このコホモロジー表現の既約性を調べること,及び,その K-type 公式を証明するのがこのステップでの目標であった。そのために,この幾何的実現を '80 年代初頭に得られた Zuckerman-Vogan 導来函手加群の言葉に翻訳し,代数的手法による研究を行った。尚,当該研究のためには既約性については一般論が知られていないパラメータの表現を扱う必要があり,実際,ペンローズ変換について最も重要なパラメータに対してはドルボーコホモロジーの空間は二つの既約成分の直和になることの証明を行った。
2. 幾何的実現の間のペンローズ変換の構成:
(1)(積分幾何における立場)部分多様体の族が与えられているとき,各部分多様体の上で積分する(ラドン変換など)。
(2)(コホモロジーの引き戻し)部分多様体の族が与えられているとき,コホモロジーの元を各部分多様体に引き戻すことができる。
上の2つの既知の変換をモデルとしてペンローズ変換を構成した。
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