| 研究概要 |
3変数2次式全体は、6次元のベクトル空間をなす.このうちの3次元部分空間のなすGrassmann多様体GL(6,3)の一点は、3個の3変数2次式が生成するイデアルに対応する.このなかで、完全交差環全体のなす部分多様体は、余次元1である.すなわち、終結式で定義される部分多様体である.
このうちの、弱Lefschetz条件をもたないもの集合は、閉集合になっている.(すなわちイデアルで定義される.)
このイデアルについて、つぎの結果を得た.
1.このイデアルの生成元の個数は20である.
2.Jacobianが、恒等的に消えれば、このイデアルは消える.
3.3次の一般線形群GL(3)の加群として、2つの規約加群に分解する.
(この既約表現を実際にヤング図式を用いて表すことが可能である.)
4.終結式は、このイデアルに含まれる.逆にいえば、終結式がゼロでなければ、このイデアルは1を含む.
以上は主に、数式処理プログラムを用いた計算結果から得られたものである.しかし理論として、一般的な扱いが可能な場合もある.
上記の「2」は、「変数の個数は任意で、同じ次数の斉次式が生成するイデアル」に一般化できる.
「4」が一般的に成立することは、「完全交差環ならば、弱Lefschetz条件をもつ」という命題と同値である.「2」でえられた、GL(3)の既約表現を、実際に求めることができる.「1」と「2」の一般化は興味深い問題であり、今後の課題である.
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