極小表現に基づくテータ級数の一般化

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 10874008
• 研究機関: 立教大学
• 研究代表者: 佐藤 文広 立教大学, 理学部, 教授 (20120884)
• 研究分担者: 落合 啓之 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (90214163) ; 高瀬 幸一 宮城教育大学, 教育学部, 助教授 (60197093) ; 宇澤 達 立教大学, 理学部, 助教授 (40232813)
• キーワード: Siegel保型形式 / 概均質ベクトル空間 / Koecher-Maass級数 / Jocobi形式 / 冪単表現

研究概要

(1) 研究代表者は,2次のSiegel尖点形式を対応する量指標付きKoecher-Maass級数の関数等式で特徴づけるImaiの定理を,尖点的と限らぬ保型形式の場合に拡張した(荒川恒男・牧野潔夫氏との共同研究).この結果は,ある種の概均質ベクトル空間のゼータ関数と2次のSiegel保型形式とを結びつけることに応用できると期待される.
(2) 分担者高瀬は,Jacobi形式と重さ半整数の保型形式を結びつけるEichler-Zagier(degree=1),Ibukiyama(degree>1)の結果を表現論的に解明した.また,Siegel cusp formの空間の次元公式に対するcuspからの寄与を正定値二次形式のゼータ関数の特殊値で表した新谷の結果を一般の半単純代数群上の可積分表現に対応する保型形式に対して定式化したところ,可積分表現のspherical trace functionのFourier変換のnon-zero setと放物型概均質ベクトル空間の開軌道の間に興味深い関係があるらしいことがわかった.
(3) 分担者落合は,半単純リー群の冪単表現の次数の次数について,(一部は西山享,谷口健二と共同で)研究した.この研究は,symplectic群のoscillator表現(Weil表現)のテンソル積から生ずる冪単表現の次数(Bernstein degree)の予想から始まり,その証明,他の群への拡張と現在進行中である.
(4) 以上の結果は主にSymplectic群に関わっており,他の群への拡張を志向する本研究の立場からは端緒的な成果だが,問題状況を明らかにしていく点で興味深いものである.

研究成果

• [文献書誌] 佐藤文広: "概均質ベクトル空間のゼータ関数とKoecher-Maass級数" 第一回整数論オータムワークショップ報告集. (1999)
• [文献書誌] K.Takase: "On Siegel modular forms of half-integral weights and Jacobi forms" Trans.Amer.Math.Soc.351. 735-780 (1999)
• [文献書誌] 高瀬幸一: "Ibukiyama,Saito“On zeta functions associated to symmetric matrices I"の紹介" 第一回整数論オータムワークショップ報告集. (1999)
• [文献書誌] H.Ochiai: "A p-adic property of the Taylor series of exp(x+x p/μ)" Hokkaido Math.J.(1999)