| 研究概要 |
リーマン多様体は,リーマン距離による距離空間であると同時にリーマン測度とエネルギー形式によって定まる正則ディリクレ空間である.この視点から研究代表者が導入した「リーマン多様体のスペクトル収束」という概念とそのの展開において,ファイバー束上の接読から定まる全空間上のリーマン計量,すなわち接続計量が重要な役割を果たすことを見ること.および磁場ポテンシャルから定義されるシュレーディンガー作用素,つまり複素直線束の接続の定めるエネルギー形式によって定義される自己共役作用素のスペクトル理論に新しい視点からの貢献をすることがこの萌芽的研究の主な目的である.
以下,今年度の研究実績を要約する:コンパクトリーマン多様体上の磁場ポテンシャルから定義されるシューレディンガー作用素の列を考える.基底となるリーマン多様体の列が,ある正則ディリクレ空間にスペクトル収束するとき,シュレーディンガー作用素の列も.(必要なら部分列に対して)極限空間上のある自己共役作用素にスペクトル収束する.言い換えると,エネルギー形式のある種の収束ーガンマ収束を一般化したものーが成り立つ.これは,レゾルベント収束と言ってもよいことが判る.ただし作用する空間は.極限空間上である種の退化した複素直線束の断面のなすL^2可積分空間である.退化の様子は曲率の集中と密接に関係して,その詳しい解析は今後の課題であるが.そのための準備として,いくつか具体的な例を構成した.
例えば,アハラノフ・ベーム効果としてよく知られた場合が,典型的な例になる.この例のように退化は,全空間の極限へのS^1連続作用の不動点とも理解される.これらの結果は,一般のコンパクトリー詳を構造群とするベクトル束とその上の接続の場合にも拡張されることが期待されるが,極限空間での群作用の連続性をはじめ多くの解決すべき課題が残されている.
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