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昨年に続いて、擬共型変換で不変であるような非線形Schrodinger方程式の爆発解の爆発時刻付近の漸近挙動の数学的解析を行った。特に、爆発解のH^1-normの爆発rateの数学的証明を目指した。
これについては、数値実験や漸近解析などの発見的な議論では、loglog lowと呼ばれるrateが報告されていた。良く知られた爆発する特殊解はこの法則を満たさないのだが、これら特殊解は「特異」な爆発解だとされており、一般的な爆発解の爆発rateは、これより緩やかなloglog lowとなる事を数学的に厳密に決定する事は当分野の重要な問題の一つである。実際、この爆発のrateを仮定すると、より精密な爆発の漸近挙動を得ることができることは昨年度の研究で分かっていた。
その証明は、Nelsonの確率過程量子化のアイデアに倣い、非線形Schrodinger方程式の解に対応する拡散過程(Nelson duffisionと呼ばれる)を考えることによってなされる。丁度、上述の爆発する特殊解を排除するような爆発rateの過程の下では、この拡散過程が「おとなしく」ふるまう事が示され、爆発解の極限形状について新しい情報を得る事ができる。このとき、Nelson duffisionが満たす確率微分方程式から、爆発rateはBrown運動のloglog 1aw(重対数法則)と関係していることが分かった。未だ数学的な完全な証明にはなっていないが、このように非線形Schrodinger方程式の解の性質を対応するNelson duffisionを用い、爆発rateをBrown運動と結び付けて議論したのは初めての事であった。
来年度は、爆発rateの確率論的証明の完成を目指し、その手法の、さらなる可能性を数学および物理学の両面から追求していきたい。
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