| 研究概要 |
1937年,K.Wagnerによって5頂点からなる完全グラフK5をマイナーに持つグラフの構造が特徴付けられたが,6頂点以上の完全グラフに関しては何も知られていない状況であった.ところが,2003年にB.Moharたちは,「グラフが閉曲面に埋め込める」という位相幾何学的な条件を付加することにより,「射影平面上の5-連結3-representativeグラフはK6をマイナーに持つ」という定理を証明した.この結果により,K6をマイナーに持つためのある程度意味のあるグラフ構造が記述されたが,まだ十分条件を与えるに留まっていた.そこで我々は,曲面上のグラフを三角形分割に限定した.これにより,B.Moharたちの定理よりも条件が強くなっているが,「射影平面とトーラス上で,ただ1つの部分グラフを禁止することにより,K6をマイナーに持つ三角形分割が特徴付けられる」というたいへんきれいな結果を導くことに成功した.また,トーラス,ダブルトーラス,クラインの壷に関してもK6をマイナーに持つ三角形分割を特徴づけられた.これらの結果を皮切りに,完全グラフをマイナーに持つ曲面上のグラフ構造とその関連についての研究を行った.今年度の研究結果の一つとして,種数3の向き付け不可能な閉曲面上の三角形分割がK6をマイナーに持つための必要十分条件を示すことに成功した.この結果から「種数3の向き付け不可能な閉曲面上の全ての5一連結三角形分割と全ての4-representative三角形分割はK6をマイナーに持つ」という系が得られている.
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