| 研究概要 |
pを奇素数とし、Z_pをp進整数環とする。本年度は、虚二次体KのZ_p拡大、Z_p^2拡大上の岩澤加群の研究を行った。簡単のため、ここではKでpは分解する(p=PP')とする。まず次の結果を得た。(1)Kの円分的Z_p拡大のλ不変量が2のとき、反円分的Z_pと線形無関連かつP,P'がともに分岐するZ_p拡大のλ不変量は2以下である。尾崎は、KとpについてGreenberg予想が成立するための必要十分条件はある条件を満たすほとんどすべてのKのZ_p拡大のλ不変量が1となることである、という結果を得ており、一般のZ_p拡大のλ不変量の上界を与えることは本研究の目標であるGreenberg予想への一歩と考えることができる。(1)の証明では、あるべき級数f(T)を用いており、このf(T)を用いた応用として次を示した。(2)円分的Z_p拡大のλ不変量は2で、KのHilbert p類体はKのZ_p^2拡大Lに含まれ、Gal(L/K)内のP分解群の指数がpであれば、任意のKのZ_p拡大のμ不変量はOである。上記の結果(1)、(2)はSandsによる結果の、類数がpで割れる場合への類似である。また、べき級数f(T)が、f(T)=(a+T)U(T)、aはpで割れるp進整数、U(T)は可逆なべき級数、という形であれば、Greenberg予想が成り立つことがわかった。本文執筆時にはこのような例を発見できていないが、現在数値計算により例を探している。擬零加群の一般的な性質については芳しい成果を上げることはできなかったが、虚二次体の岩澤加群の興味深い性質を見つけることができたように思われる。
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