| 研究概要 |
本年度,サイクル写像に関する研究として,主に「有限体上の非特異射影多様体に対するTate-Beilinson予想」についての研究に取り組み,ある平面曲線の積に対してTate-Beilinson予想が成り立つことを証明した.
代数多様体の重要な不変量にChow群がある.Chow群は,代数多様体の閉部分多様体の形式和である代数的サイクルから構成され,代数体のイデアル類群はその例である.Chow群は数論的にも幾何的にも興味深い対象であり,その研究における基本的な課題は構造の解明である.例えば,有限体上の多様体のチャウ群は有限生成であることが予想されている.
そして,研究にはサイクル写像と呼ばれるChow群からエタールコホモロジー群への準同型写像がしばしば用いられる.例えば,高次元類体論の相互写像はサイクル写像の特別な場合であり,その性質により"数論的なスキーム"の0-サイクルのChow群が有限生成であることが明らかにされた.このサイクル写像の性質を解明することも基本的な課題である.
Tate-Beilinson予想は,Chow群からl進エタールコホモロジーへのサイクル写像が同型であることを主張するもので,Tateが初めに全射性を予想し,その後Beilinsonが全単射であると予想した.この予想は多様体のゼータ関数とChow群とを結びつける予想であり,数論幾何学において重要な未解決問題である.
私はSouleの曲線の積に対するサイクル写像についての結果を用い,Tate-Beilinson予想が成り立つような多様体の族を与えた.また構成した多様体のChow群の構造についてもある種の有限性が示せた.さらに,Kahnによる結果を適用することで,ゼータ値についてのLichtenbaum予想や高次代数K群に関するParshin予想が成り立つことも得ることができた.
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