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申請者は過去に、ポテンシャル障壁存在下でのボース超流動系において、系の線形化励起を記述する方程式であるボゴリューボフ方程式を解くことで、超流動体が臨界速度に達した時に、局所的な密度ゆらぎのゼロモードが出現し、それが系の不安定化の鍵となることを示していた。
上記のタイプの問題は、特にポテンシャル障壁の形がデルタ関数型である場合には、ソリトン解の「切り貼り」によって厳密解を構成できるため、この問題にアプローチする上で、ソリトン存在下での線形化励起の解を構築することは、理解の非常に大きな助けになる。そこで、本年度の研究では、まず、スピン自由度を含むボース凝縮体においても、これを記述する多成分非線形シュレーディンガー方程式が可積分であれば、対応するボゴリューボブ方程式も、二乗ヨスト関数を用いて厳密に解けることを示した。
また、近年の発達が著しい冷却原子気体系においては、レーザーによる閉じ込めで一次元系が実現されているが、理想的な一次元系からのずれが、非線形シュレーディンガー方程式における高次の非線形項として現れることが知られている。これを踏まえ、非線形項を一般化した非線形シュレーディンガー方程式においてソリトンとフォノンの散乱問題を解いた。そして、フォノンの透過特性が、ソリトンが不安定化する臨界速度状態においては特異的になること、また、臨界速度近傍ではサドルノード分岐を特徴付けるスケーリング則に従うことを解析的に証明した。これは無限次元ハミルトニアン力学系における、サドルノード・スケーリングの数少ない厳密な具体例を与えているという点で、深い意義を持つ。また、臨界速度状態においては、ソリトン周辺の密度ゆらぎが発散していることも副産物として発見し、障壁存在下でのボース超流動系との数学的差異を明らかにした。
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