微分方程式の総合的研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11304006
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 谷島 賢二 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (80011758)
• 研究分担者: 真島 秀行 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (50111456) ; 井川 満 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80028191) ; 中村 周 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50183520) ; 堤 誉志雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027) ; 儀我 美一 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70144110)
• キーワード: シュレーディンガー方程式 / シュレーディンガー作用素 / 粘性解 / 散乱理論 / 超漸近解析 / 波動方程式 / 漸近安定性 / 偏微分方程式

研究概要

12年度に引き続き,自然現象や社会現象を記述する様々な線形あるいは非線形の常微分方程式あるいは偏微分方程式の未解決な基本的な問題について様々な角度から総合的な研究を行った。研究代表者および研究協力者が本年度中に得た主な業績は次のとおりである。
1.研究代表者および研究協力者中村周はSchrodinger方程式について研究し次の結果を得た.(1)基本解の滑らかさと無限遠での挙動を明らかにした.(2)V(x)【greater than or equal】C'|x|^<2+δ>, 0<δをみたすポテンシャルをもつSchrodinger方程式の解の平滑化作用を証明し非線形Schrodinger方程式に応用した.(3)時間周期系の局所減衰に関する漸近展開を得た.(4)相空間におけるトンネル効果の準古典解析を行った.(5)Spectre shift関数のL^p-理論を構築し,ランダムな磁場あるいはポテンシャルを持つSchrodinger作用素に対するスペクトル解析を行った.
2.研究協力者儀我美一は一階の偏微分方程式の不連続解を等高面法により定式化し,不連続性を含む粘性解を数値的に計算する道をひらいた.適正粘性解の概念を導入して解の一意性,粘性消滅法による解の存在を示した.また,流体力学の基礎方程式については空間無限大で減衰しない初期値についての局所解および2次元での大域古典解の構成に成功し,新分野を築いた.
3.研究協力者堤誉志雄は場の古典論に現れる,Dirac-Proca方程式とMaxwell-Higgs方程式について研究し,Dirac-Proca方程式の滑らかで小さな初期値に対しする時間大域解が存在することを証明した.Maxwell-Higgs方程式に対する定数真空解の安定性の問題に関連して質量項を持つKlein-Gordon方程式の定数解の漸近安定性を示した.
4.研究協力者真島秀行は漸近解析における消滅定理の精密化など,函数の漸近展開に関する基礎的定理の研究を超漸近解析の立場からおこなった.
5.研究協力者井川満は波動方程式のいくつかの凸物体による散乱行列の極の分布についての研究を引き続いて行いより精密な結果を得た。

研究成果

• [文献書誌] Andre Martinez: "On the fundamental solution of semi-classical schrodinger equations at rescnant times"Commun. Math. physics. 216. 357-373 (2001)
• [文献書誌] Kenji Yajima: "On the behavior at infinity of the fundamental solution of time dependent Schrodinger equations"Reviews in Mathematical Physics. 13. 891-920 (2001)
• [文献書誌] Kenji Yajima: "Smoothing property for Schrodinger equations with potentials superquadrare at infinity"Commun. Mathenatical Physics. 221. 573-590 (2001)
• [文献書誌] Arne Jensen: "A remark on L^p-boundedness of wave operators for two dimensional Schrodinger operators"Commun. Mathenatical Physics. (to appear). (2002)
• [文献書誌] Shu Nakamura: "A remark on the Direchlet-Newman clecoupling and the integrates dencity of Stated"Journal of Functional Analysis. 179. 136-152 (2001)
• [文献書誌] Jean-Michel Combes: "The L^p-theary of special shift-functions the wegner estimate, and the integrated density of states"Commun. Math. physics. 218. 113-130 (2001)
• [文献書誌] Andre Martinez: "Phase space tunneling and multistate scatteving"Journal of Functional Analsis. (to appear).
• [文献書誌] Yoshikazu Giga: "A level set approach to semi-continuous viscosity solutions for Caucliy problems"Commun. Partial Differential Equations. 26. 813-839 (2001)
• [文献書誌] Yoshikazu Giga: "On the motion of singular interfucial surface"Japanese S Ind. Appl. Math.. 18. 231-248 (2001)
• [文献書誌] Miho Giga: "Genevclized motion by non-local curvature in the plane"Arch. Rational Mecl. Anol. 159. 295-333 (2001)
• [文献書誌] Miho Giga: "Very Singular diffusion equations"Advanced Studies in Pure Math.. 31. 93-125 (2001)
• [文献書誌] Yoshikazu Giga: "Remarks on the uniqueness of bounded. solutions of the Navier States equations"Non-linear Analysis. 47. 4151-4156 (2001)
• [文献書誌] J. Escher: "On a limiting motion and self-intersections of curves moved by the intermediate surface diffusion flow"Non-linear Analysis. 47. 3717-3728 (2001)
• [文献書誌] Yoshikazu Giga: "Global existence of two dimensional Navies-stokes flow with nondecaying initial velocity"J. Math. Fluid Mech.. 3. 302-315 (2001)
• [文献書誌] 堤 誉志雄: "非線型波動方程式の解の大城有在と爆発"「数学」(日本数学会). 53. 139-156 (2001)