| 研究課題/領域番号 |
11440004
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
斎藤 秀司 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (50153804)
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| 研究分担者 |
石井 志保子 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (60202933)
黒川 信重 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (70114866)
藤田 隆夫 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (40092324)
中山 能力 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (70272664)
辻 元 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (30172000)
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| キーワード | 代数的サイクル / モチーフ / Hodge理論 / (4)特異点 / (5)Torelli問題 / (6)K群 / (7)周期写像 / (8)Abelの定理 |
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| 研究概要 |
本研究の目的の一つは"代数的サイクルをHodge理論を使い、周期積分により統制する"という。問題に取り組むことである。これは代数幾何学における最も基本的かつ深遠な問題の一つといって過言ではないであろう。この種の問題で最も名高いのがHodge予想とAbelの定理である。本研究では後者の一般化及び高次元化を主な目的とする。本研究におけるこの問題にたいするアプローチは二つの支柱に支えられている。ひとつはBloch-Belinson-Deligneによるモチーフの哲学とそれを具現化するChow群上のフィル-ターの研究でありもうひとつはHodge構造の変動の理論において重要な役割を果たすGriffithsのnormal関数の高次元化である。これらのふたつの流れを統合することにより生み出された高次normal関数による代数的サイクルの研究が本研究のひとつのメインテーマである。平成11年度における新しい成果として高次normal関数の代数多様体のK群の研究への応用(ドイツのEssen大学のMuller-Stach氏との共同研究)が挙げられる。具体的にはいままで計算がほとんど不可能であった代数曲面のK_2の元を具体的に構成し高次normal関数を使ってそれが実際に非自明な元であることを示すことに成功した。平成11年度におけるもうひとつの新しい成果として特異点を持つ多様体のHodge理論の研究とその応用がある。具体的には孤立特異点をもつ超曲面の変形とそれから生じる対数的Hodge構造の研究を対数的Torelli問題という観点より行った。主な結果としては超曲面の特異点がcanonicalであれば局所的なTorelli問題が成り立つというものである。これによりいままであまり研究がなされていなかった超曲面のモジュライ空間の縁での様子を拡張された周期写像(最近の加藤・臼井氏の共同研究による)によって調べることが可能になる。この研究における技術的な革新としてはGriffithsがもともと超曲面のTorelli問題を研究するために開発したテクニックである非特異な超曲面のHodge構造を統制するヤコビ環の理論を特異点を許す超曲面のSteenbrinkの意味でのLimitting Hodge構造を統制するヤコビ環の理論に拡張することである。これはゆくゆくは代数的サイクルの研究にも応用されることが期待されるものである。
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