簡約群の幾何学的表現論

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11440011
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 落合 啓之 九州大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (90214163)
• 研究分担者: 金子 昌信 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (70202017) ; 大島 利雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50011721) ; 脇本 實 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00028218) ; 今野 拓也 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助手 (00274431) ; 示野 信一 岡山理科大学, 理学部, 助教授 (60254140)
• キーワード: 半単純リー群 / 最高ウエイト表現 / 次数 / Giambelliの公式 / テータ対応 / 重複度自由 / ベキ零軌道 / 概均質ベクトル空間

研究概要

半単純Lie群のユニタリ最高ウエイト表現の次数を計算した(落合と加藤昇平との共同研究)。スカラー型の表現に対しては群の型に依らない次数の公式を与えることができた。これは古典的なGiambelliの3つの公式をまとめていると同時に、例外型へもそれを拡張している。スカラー型でない表現に対してはKazhdan-Lusztig型の分解公式を用いるアプローチで次数を与えた。特に例外型リー環E_7の場合にisotropy表現との関係を示唆する公式を得た。例外型テータリフトの存在を示唆していて、興味深く今後の課題となる。また、Hermite対称空間に限らず、重複度自由な作用のspherical軌道の次数も研究した。
関連して、脇本はアフィンリー環、共形代数、アフィン・スーパー・リー環のそれぞれの表現を指標、特に指標のモジュラー不変性から調べた。大島は不変包絡環の中心元やその一般化に関する等式を導き、示野は対称空間を拡張したルート系に付随する積分変換やDunkl変換に対して,Heisenbergの不等式とHardyの定理の類似を証明するなど、実数体上の表現を調べた。金子は数論的見地から母函数の特殊値を、今野はendoscopyについて調べると共に、局所体上のユニタリ群のadmissible表現を詳細に調べている。
その他、半単純リー群のベキ零軌道に関する研究会を開催し、概均質ベクトル空間の構造論や代数幾何的不変式論などを用いた方法を進展させている(落合、現在継続中、関口次郎、山下博、西山享などと)。

研究成果

• [文献書誌] H.Ochiai: "Classification of commuting differential operators with two variables"Yang-Baxter systems, non-linear models and their application. 183-187 (2000)
• [文献書誌] K.Nishiyama,H.Ochiai,K.Taniguchi: "Bernstein degree and associated cycles of Harish-Chandra modules"Asterisque. (発表予定). (2001)
• [文献書誌] S.Kato,H.0chiai: "The degree of orbits of multiplicity-free actions"Asterisque. (発表予定). (2001)
• [文献書誌] H.Ochiai: "Non-commutative harmonic oscillators and Fuchsian ordinary differential equations,"Communications in Mathematical Physics. (発表予定).
• [文献書誌] M.Wakimoto: "Non-commutative harmonic oscillators and Fuchsian ordinary differential equations,"Advanced Studies in Pure Math. "Analysis on Homogeneous Spaces and Representation Theory of Lie Groups". 26. 325-353 (2000)
• [文献書誌] S.-J.Cheng and V.G.Kac,M.Wakimoto: "Extensions of Neveu-Schwarz conformal modules"Jour.Math.Phys.. 41. 2271-2294 (2000)
• [文献書誌] V.Kac,M.Wakimoto: "Integrable highest weight modules over affine superalgebras and Appell's function"Communications in Mathematical Physics. (発表予定).
• [文献書誌] M.Kaneko: "The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers"Electronic J.of Integer Sequences. 3. (2000)
• [文献書誌] M.Kaneko,N.Todaka: "Hypergeometric modular forms and supersingular elliptic curves"The proceedings of the Moonshine conference in Montr\'ea1. (発表予定).
• [文献書誌] M.Kaneko,K.Tachibana: "When is a polygonal pyramid number again polygonal?"Rockey Mountain Journal. (発表予定).
• [文献書誌] N.Shimeno: "An analogue of Hardy's theorem on the Poincare disk"Bull.of Okayama Univ.of Science. 36A. 7-10 (2001)
• [文献書誌] N.Shimeno: "A note on the uncertainty principle for the Dunkl transform"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. (発表予定).
• [文献書誌] T.Konno: "Twisted endoscopy and the generic packet conjecture,"Israel Journal of Mathematics. (発表予定).