簡約群の幾何学的表現論

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11440011
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 落合 啓之 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (90214163)
• 研究分担者: 村田 實 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (50087079) ; 大島 利雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50011721) ; 脇本 實 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00028218) ; 金子 昌信 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70202017) ; 村上 斉 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (70192771)
• キーワード: 半単純リー郡 / 最高ウェイト表現 / 次数 / テータ対応 / べき零軌道 / 随伴多様体 / 概均質ベクトル空間 / Kazhdan-Lusztig

研究概要

簡約型Lie群のユニタリ最高ウェイト表現の固定部分表現を調べた。古典群のテータ対応に生ずる表現を超えて、一般の場合はKazhdan-Lusztig型の指標分解公式を用いて、表現のBernstein次数を決定した(落合と加藤昇平の共同研究)。その次数の表式より、固定部分表現が既約になる点を類推することができ、特に特異な表現に対してはそれを決定することが進展している。また、一般の重複度自由な線型表現に現われる球軌道の次数の公式を定積分形で与えた。これは上で使われた公式を統合するとと共に、Selberg型積分公式などを今までに知られていない方面へ適用した例として貴重である。
大島は表現の無限小指標や零化イデアルを統括するために、普遍包絡環と座標環を同時に扱う同次化包絡環を導入した。そして、小行列式を量子化したCapelli作用素を使って行列の単因子の概念を量子化することによって、一般線形群のスカラー型の一般Verma加群の零化イデアル、すなわち、スカラー型退化系列表現を規定する方程式系の生成元を構成した。関連して、落合は普遍包絡環の中心と普遍微分作用素環のずれを対称空間の場合に記述している。
村上は既約表現に付随した体積予想を、村田は岩沢分解に付随したべき零Lie群上の2階の微分方程式の正値解を調べた。落合は、双曲型錘多様体上のベクトル値ラプラス方程式の解を超幾何関数表示によって表示している(藤井道彦との共同研究、論文準備中)。
脇本はアフィンスーパーリー環の表現の指標をさまざまな場合に求め、そのモジュラー不変性の成否を論じた。金子は楕円モジュラー関数jを有限体上の超特異楕円曲線や特異モジュライの幾何から解き起こしている。落合は楕円曲線の分岐を指定した被覆の個数の母関数が準モジュラー不変性を持つことを導いた。

研究成果

• [文献書誌] Hiroyuki Ochiai: "Non-commutative harmonic oscillators and Fuchsian ordinary differential equations"Communications in Mathematical Physics. 217. 357-373 (2001)
• [文献書誌] Kyo Nishiyama, Hiroyuki Ochiai, Kenji Taniguchi: "Bernstein degree and associated cycles of Harish-Chandra modules Bernstein degree and associated cycles of Harish-Chandra modules"Asterisque, Societe Mathematique de France. 273. 13-80 (2001)
• [文献書誌] Shohei Kato, Hiroyuki Ochiai: "The degree of orbits of multiplicity-free actions"Asterisque, Societe Mathematique de France. 273. 139-158 (2001)
• [文献書誌] H.Ishihara, H.Ochiai, Y.Takegahara, T.Yoshida: "On the power of a prime $p$ dividing the number of solutions of x^p=1 in a symmetric group"Annals of Combinatorics. 5. 197-210 (2001)
• [文献書誌] Victor Kac, Minoru Wakimoto: "Integrable highest weight modules over affine superalgebras and Appell's function"Communications in Mathematical Physics. 215. 631-682 (2001)
• [文献書誌] Hitoshi Murakami, Jun Murakami: "The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot"Acta Math.. 186. 85-104 (2001)
• [文献書誌] Masanobu Kaneko, Naoya Todaka: "Hypergeometric modular forms and supersingular elliptic curves"Proceedings on Moonshine and related topics(J. Mckay and A. Sebbar ed.), CRM Proceedings and Lecture Notes. 30. 79-83 (2002)
• [文献書誌] Minoru Wakimoto: "World Scientific Publishing Company"Lectures on Infinite-Dimensional Lie Algebra. (2001)