| 研究概要 |
アレキサンドロフ空間を含むリッチ曲率が下に有界な測度距離空間の概念を定義し,そこから完備距離空間へのL^p写像の自然なエネルギーを導入した.さらにこのエネルギーに関して,ポアンカレの不等式,エネルギー測度の存在などを証明した.K.T.Sturmは曲率が上下から有界な測度距離空間を定義し,その上のL^p関数のエネルギーを定義し研究したが,我々の研究はその拡張になっている.今後の問題として,下に曲率が有界なリーマン多様体またはアレキサンドロフ空間が収束したときに,そこから完備距離空間への写像のエネルギー汎関数が収束するかどうかを考える.これは特に写像の値域がCAT(0)空間の時に「非線型(CAT(0))空間の関数解析」を構築することによって可能であろうとの知見を得た.
別の観点からの重要な研究として,曲率が爆発する場合の崩壊現象の解明がある.一般的な理論を構築するのは難しいと思われるが,基本的な場合について研究を行った.それは実数直線の区間Iとコンパクトリーマン多様体Sとのリーマンwarped productI×_ψSの場合である.ここにχ∈I,θ∈Sに対してψ(χ)を正値C^∞関数としたとき,I×_ψSのリーマン計量はds^2=dχ^2+ψ(χ)^2dθと表される.α_<αn>(χ):=arctan{(logψn(χ))'}とおいたとき,∫_I|α'(∬)|dχ《∞かつψnが崩壊したとき,つまりψn→0のとき,I×ψnS上のL^2関数空間のエネルギー汎関数の収束性にっいての結果を得た.
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