| 研究概要 |
境界値問題-Δν+f(x, y, u)=0inΩ,u=g on Γに対し解の充分な滑らかさを仮定するとき、x, y方向に一様な刻み幅hで差分網をつくれば、Γの近くで半端な格子点が存在しても数値解は全域でO(h^2)、境界附近でO(h^3)である。(このような収束を超収束と呼ぶ)。さらに、Γが円の場合、極座標系に変換し原点においてSwartztrauber-Sweet近似を用いれば同様な結果が成り立つ。(Yamamoto,1998)。これが本研究の出発点であるが、この結果を踏まえて、この3年間で得た研究成果の概要は次の通りである。
1.移流拡散方程式に対する差分解の超収束性
上記超収束性が移流拡散方程式に対する陰型解法についても成り立つことを示した。
2.非整合差分スキームの収束性
h→0のとき、打切り誤差が発散しても差分解が収束する場合のあることを方青と共同して理論と数値実験により示した。
3.伸長変換による差分解の精度の向上
解が急激に変化するような境界値間題に対し多項式伸長変換と指数伸長変換の有効性を方青および大学院生の協力をえて調べ、Ωがいろいろな形状の場合に対する収束定理をえた。
4.Green関数と離散Green関数の調和な関係と誤差解析への応用
山本は2点境界値問題に対するGreen関数と離散Green関数の間にはある調和な関係があることを見い出し、土屋卓也、方青と共同して、有限差分法有限要素法、有限体積法の統一的解釈を行った。さらにこの関係を用いていろいろな結果を見い出している。
本研究の成果はすべて意外性に富み、従来の数値解析の教科書の記述を書き換えさせるものである。
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