Exact WKB解析と超局所解析

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11440042
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 河合 隆裕 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20027379)
• 研究分担者: 青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285) ; 竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (00212019)
• キーワード: 鞍点法 / 最急降下路 / 鞍点 / 完全WKB解析 / 超局所解析 / Borel和 / 積分表示 / 変わり点

研究概要

通常、鞍点法に於て最急降下路の幾何学として問題とされるのは鞍点の近傍のみであり、従って必然的に得られる結果はnon-exactである。では如何にしてこれをexactなものにするか?換言すればBorel総和法と相性の良い最急降下路はどのようにして求めたらよいのか?と云う主題を追求してようやくその解答を得ることに成功した。(T.Aoki,T.Kawai and Y.Takei,in preparation)"最急降下路がStokes曲線に交わったら他の特性根に係る最急降下路も併せ考える。このようにして出来る枝分れした路全体を考えるとexact WKB解析と整合する。"この結論に達した経緯はexcitingであった。まず我々は積分表示を持つ場合の考察を手始めに、Fourier変換を積分表示として用いることを試みた。ここではWKB解の初項が(総和を取れば消える)特異点をもちこれが元来の方程式のStokes幾何学に効くかどうか計算機実験に拠る多くの試行錯誤を重ねた。ただFourier像のexact WKB解析の観点からは、Fourier像のStokes幾何学を通してしか上述の特異点(即ちWKB解析で謂う「変わり点」)は関係しないはずだ、と云う信念は不動で最終的に計算機実験でも裏打ちされる上述の結論に達することができたのである。
この結果は、鞍点の近傍の解析が超局所解析に該り、最急降下路の全体を決めることがexact WKB解析に該る、と標語的にまとめることもできる。
即ちこの結果は「超局所解析とexact WKB解析は補完的な関係にある」と云う我々の予想はこの場合には立証されたと言えよう。尚超局所解析の赤外発散に関する応用の研究も試みた。(T.Kawai and H.P.Stapp, in preparation)。

研究成果

• [文献書誌] T.Aoki,T.Kawai and Y.Takei: "On a complete description of the Stokes geometry for higher order ordinary differential equations with a large parameter via integral representations"Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations, Linear or Non-Linear, Kyoto Univ. Press. 11-14 (2000)
• [文献書誌] T.Aoki,T.Kawai and Y.Takei: "Can we find a new deformation of (SL_J) with respect to the parameters contained in (P_J)?"Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations, Linear or Non-Linear, Kyoto Univ. Press. 205-208 (2000)
• [文献書誌] T.Kawai: "Natural boundaries revisited through differential equations, infinite order or non-linear"Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations, Linear or Non-Linear, Kyoto Univ. Press. 231-243 (2000)
• [文献書誌] T.Kawai and Daniele C.Struppa: "Overconvergence phenomena and grouping in exponential representation of solutions of linear differential equations of infiite order"Adv.in Math.. (To appear).
• [文献書誌] Y.Takei: "An explicit description for the connection formula for the first Painleve equaiton"Toward the Exact WKB Analysis of Differential Equations,Linear or Non-Linear, Kyoto Univ. Press. 271-296 (2000)