パンルベ方程式と可積分系

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11440047
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 山田 泰彦 神戸大学, 自然科学研究科, 助教授 (00202383)
• 研究分担者: 齋藤 政彦 神戸大学, 理学部, 教授 (80183044) ; 高野 恭一 神戸大学, 理学部, 教授 (10011678) ; 野海 正俊 神戸大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (80164672) ; 梶原 健司 同志社大学, 工学部, 助教授 (40268115) ; 高崎 金久 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (40171433)
• キーワード: パンルベ方程式 / ベックルント変換 / ワイル群 / 可積分系 / Kac-Moodyリー環 / q差分パンルベ方程式 / 組合せ論 / 初期値空間

研究概要

平成12年度に,この研究により得られた主な結果は以下のとおりである.
1.『アフィンワイル群の双有理表現』パンルベ方程式のベックルント変換として現われるアフィンワイル群の双有理表現は,本研究の主要テーマであり,野海と山田が系統的な研究を進めて来た.特にこの1,2年の研究の結果,こうした表現を,アフィンリー環の表現論や対応する(より一般のKac-Moodyリー環の)ポアソン代数を基礎として,極めて一般的な形で定式化することに成功した.この結果,タウ関数の基本性質であるコサイクルの多項式性の予想を解決するとともに,Drinfeld-Sokolov方程式系との関連を明白に理解できるようになった.
2.『qパンルベIV方程式とその特殊解』1.で述べたアフィンワイル群の双有理表現は,ルートのパラメータについて加法的な表現である.そのq変形版にあたる乗法的な表現については,数年前に雛型となる表現を得ていたが,その後進展はなかった.本年度の研究で,梶原,野海,山田は,この乗法的表現をベックルント変換とするようなパンルベ方程式を考察した.特に,ルート系がA^<(1)>_2の場合に対応する方程式として,q差分パンルベIV方程式と呼ぶべきもの(の対称形式)を構成することができた.さらに,この系の特殊解を考察し,qエルミート解やq岡本解および,そのベックルント変換の系列全てを具体的に決定した.
以上の結果は学会や国際会議等で発表し,学術論文として投稿中である.
3.『その他の研究』関連して,ワイル群の組合せ論的表現とその対称関数への応用,および初期値空間の構成等についても,いくつかの進展があった.

研究成果

• [文献書誌] Noumi,Masatoshi: "Affine Weyl group symmetries in Painleve type equations"Toward the exact WKB analysis of differential equations, linear or non-linear. 204. 245-259 (2000)
• [文献書誌] Noumi,Masatoshi: "ordell-Weil lattice via string junctions"Nuclear Phys.B. 572. 71-94 (2000)
• [文献書誌] Kajiwara,Kenji: "On the Umemura polynomials for the Painleve III equation "Phys.Lett.A. 260. 462-467 (1999)
• [文献書誌] Noumi,Masatoshi: "Symmetries in the fourth Painlev equation and Okamoto polynomials"Nagoya Math.J.. 153. 53-86 (1999)
• [文献書誌] Noumi,Masatoshi: "Higher order Painlevi equations of type A^<(1)>_l"Funkcial.Ekvac.. 41. 483-503 (1998)
• [文献書誌] Yamada,Yasuhiko: "Determinant formulas for the τ-functions of the Painlevi equations of type A"Nagoya Math.J.. 156. 123-134 (1999)
• [文献書誌] Matano,Tohru: "On some Hamiltonian structures of Painlevi systems.II"J.Math.Soc.Japan. 51. 843-866 (1999)
• [文献書誌] Kimura,Hironobu: "Analogue of flat basis and cohomological intersection numbers for general hypergeometric functions"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. 6. 415-436 (1999)
• [文献書誌] Kajiwara,Kenji: "A generalization of determinant formulae for the solutions of Painlevi II and XXXIV equations"J.Phys.A. 32. 3763-3778 (1999)
• [文献書誌] Hietarinta,Jarmo: "Rational solutions to d-P_<IV>"London Math.Soc.Lecture Note. 255. 206-216 (1999)
• [文献書誌] Kajiwara,Kenji: "The discrete Painlevi II equation and the classical special functions. Symmetries and integrability of difference equations"London Math.Soc.Lecture Note. 255. 217-227 (1999)
• [文献書誌] Kajiwara,Kenji: "On the Umemura polynomials for the Painlevi III equation"Phys.Lett.. A260. 462-467 (1999)
• [文献書誌] Takasaki,Kanehisa: "Integrable Hierarchies and Contact Terms in u-plane Integrals of Topologically Twisted Supersymmetric Gauge Theories"Int.J.Mod.Phys.. A14. 1001-1013 (1999)
• [文献書誌] A.J.Bordner: "Calogero-Moser Models II : Symmetries and Foldings"Prog.Thero.Phys.. 101. 487-518 (1999)
• [文献書誌] Takasaki,Kanehisa: "Elliptic Calogero-Moser Systems and Isomonodromic Deformations"J.Math.Phys.. 40. 5787-5821 (1999)
• [文献書誌] Takasaki,Kanehisa: "Whitham Deformations and Tau Functions in N=2 Supersymmetric Gauge Theories"Prog.Theor.Phys.Suppl.. 135. 53-74 (1999)
• [文献書誌] S.P.Khastgir: "Calogero-Moser Models IV : Limits to Toda theory"Prog.Theor.Phys.. 102. 749-776 (1999)
• [文献書誌] 野海正俊: "パンルヴェ方程式-対称性からの入門-"朝倉書店. 201 (2000)