非線形偏微分方程式の解の特異点に対する漸近解析

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11440057
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 小川 卓克 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (20224107)
• 研究分担者: 小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728) ; 隠居 良行 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (80243913) ; 川島 秀一 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (70144631) ; 小林 孝行 九州工業大学, 工学部, 講師 (50272133) ; 加藤 圭一 東京理科大学, 理学部第一部, 講師 (50224499)
• キーワード: KdV方程式 / 正則性 / Euler方程式 / 非圧縮性粘性流体 / Besov空間 / Boltzmann方程式 / Oberbeck-Boussinesq方程式 / 漸近安定性

研究概要

小川は研究分担者の加藤と共同で、KdV方程式の初期値が一点だけディラック測度のような強い特異点を持つ場合に、その解が時間が時刻0以外で時間-空間両変数方向に実解析的となることを証明した。この手法を発展させ、非線形Schrodinger方程式や一般の半線形分散型方程式で非局所作用素を含まない場合に、類似の結果を証明した。
また小川は谷内靖と共同で3次元Euler方程式の初期値問題の解の爆発のための新しい十分条件を一般化されたBesov空間の記法で表現した。これにより、逆に渦度が高々対数程度の特異点を持つ場合にはEuler方程式の解は、なめらかに延長できることも示した。
川島は西畑伸也と共同で空間1次元の半空間における離散的Boltzmann方程式に対し、純消散的境界条件を課した場合の定常解の存在を示し、それが時間無限大で漸近安定であることを証明した。また、その定常解が空間の無限遠方で空間一様な平行状態に指数的に漸近することを示した。さらに一般の双曲・楕円型連立系のある種の特異極限を論じた。
また、輻射気体の方程式系ではこの時異極限は、Boltzmann数とBouguer数の積を一定にしたままBoltzmann数を零に近づける極限に対応していることを明らかにした。
一方、隠居は無限層状領域におけるOberbeck-Boussinesq方程式のある種の定常解に対して、定常解が線形化安定性の臨界状態にあっても、初期撹乱の大きさに関係なく無条件安定であることを示した。

研究成果

• [文献書誌] K.Kato,T.Ogawa: "Analiticity and smoothing effect for the Korteweg-de Vries equarion with a single point singularity."Math.Annalen,. (in press). (2000)
• [文献書誌] K.Kato,T.Ogawa: "Analytic smoothing effect and single point conormal regularity for the semilinear dispersive type equation."数理解析研講究録. 1123. 113-123 (2000)
• [文献書誌] T.Ogawa,Y.Taniuchi: "Remarks on uniqueness and blow-up criterion to the Euler equations in the generalized Besov spaces."J.Korean Math. Soc. to appear. 1123. (2000)
• [文献書誌] S.Kawashima and S.Nishibata: "Cauchy problem for a model system of the readiating gas:Weak solutions with a jamp and classical solutions."Math.Models Meth.Appl.Sci.,. 9. (1999)
• [文献書誌] S.Kawashima and S.Nishibata: "Existence of a stationary wave for the discrete Boltzmann equation in the half space."Commun.Math.Phys.,. (to appear). (2000)
• [文献書誌] S.Kawashima and S.Nishibata: "A singular limit for hyperbolic-elliptic coupled systems in rediation hydro-dynamics."Indiana Univ.Math.J.,. (to appear). (2000)
• [文献書誌] Y.Nikkumi and S.Kawashima: "Stability of stationary solutions to the half-space problem for the discrete Boltzmann equation with multiple collisions,"Kyushu J.Math.,. (to appear). (2000)
• [文献書誌] S.Kawashima and S.Nishibata: "Stationary waves for the discrete Boltzmann equation in the half space with reflective boundariws,"Commun0Math.Phys.,. (to appear). (2000)
• [文献書誌] Y.Kagei and W. von Wahl: "Asymptotic stability of steady flows in infinite layers of viscous incom-pressible fluids in critical cases of stability,"Indiana Univ.Math.J.,. 48. 1083-1110 (1999)
• [文献書誌] H.Kozono: "On global strong solution of the Navier-Stokes equations in 4 and 5 di-mensional unbounded domains,"Ann. Inst. Henri Poincare Analyse Nonlineaire,. 16. 535-561 (1999)
• [文献書誌] H.Kozono, M.Yamazaki: "Uniqueness criterion of weak solutions to the stationary Navier-Stokes equations in ezterior domains."Nonlinear Analysis,TMA,. (in press). (2000)
• [文献書誌] H.Kozono, Y.Taniuchi: "Bilinear esitimates in BMO and the Navier-Stokes equations,"Math. Z.. (in press). (2000)
• [文献書誌] H.Kozono: "Weak solutions of the Navier-Stokes equations with test functions in weak-L^n."Tohoku Math. J.. (in press). (2000)
• [文献書誌] K.Kato,: "Interaction of analytic singularities for nonlinear wave equations"Comm. in Partial Differential Equations. (to appear). (2000)
• [文献書誌] K.Kato、P.N. Pipolo: "Analyticity of solitary wave solutions to generalized Kadomtesv-Pteviashvili equations,"Proc. Roy. Soc. Edinburg. (to appear). (2000)
• [文献書誌] T.Kobayashi and Y.Shibata,: "Decay estiates of solutions for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive gases in an exterior domain R^3"Commun. Math. Phys.. 200. 621-659 (2000)
• [文献書誌] T.Kobayashi and W. Azjaczkowski: "On global motion of a compressible viscous fluid with boundary slip con-dition."Applicationes Mathematicae. 26. 159-194 (1999)
• [文献書誌] T.Wada: "Scattering Theory for Time-dependent Hartree-Fock Type Equation,"Osala J. Math.. 36(in press). (1999)
• [文献書誌] T.Wada: "A remark on long range scattering for the Hartree type equation,"Kyushi J. Math.. 54(in press). (1999)