SINC関数近似に基づく数値計算アルゴリズムの開発と研究

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11450038
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 杉原 正顯 名古屋大学, 工学研究科, 教授 (80154483)
• 研究分担者: 森 正武 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20010936) ; 松尾 宇泰 名古屋大学, 工学研究科, 助手 (90293670) ; 杉浦 洋 名古屋大学, 工学研究科, 助教授 (60154465) ; 緒方 秀教 愛媛大学, 工学部, 講師 (50242037)
• キーワード: SINC関数 / 関数近似 / 二重指数関数型変数変換 / Sinc-Galerkin法 / Poisson方程式

研究概要

本年度は,研究申請書に記した研究のうち,Poisson方程式に対するSinc-Galerkin法に関して著しい進展があり,以下のような成果が得られた:
1.1次元Poisson方程式に対するSinc-Galerkin法の最適性
SINC関数近似に基づく数値計算アルゴリズムのうち,関数近似や(1次元)数値積分に関しては,その最適性が確立している.しかし,常微分方程式や偏微分方程式の境界値問題に対するアルゴリズム,すなわち,Sinc-Galerkin法に関してはそのような結果は皆無である.これに対して我々は,最も簡単な1次元Poisson方程式の境界値問題に対してSinc-Galerkin法の最適性を(完全ではないが)示した.その結果,一重指数関数型変数変換を用いたSinc-Galerkin法の誤差のオーダはexp(-c√<N>)で与えられ,それが限界であること,二重指数関数型変数変換を用いた場合,誤差のオーダはexp(-c'N/logN)で与えられ,それが限界であることが判明した.
2.多角形領域上のPoisson方程式に対する領域分割型Sinc-Galerkin法の開発
2次元Sinc-Galerkin法はそれが適用可能な領域は基本的に矩形領域に限られる.Bowers等は,Poisson方程式の場合に2次元Sinc-Galerkin法の適用可能領域を広げるため,矩形領域を重ねてできる領域を考え,その領域に対する領域分割型Sinc-Galerkin法を開発した.これに対して,我々は扇形領域を重ねてできる領域(すなわち多角形領域)上のPoisson方程式に対する領域分割型Sinc-Galerkin法を開発した.我々の方法では,まず,扇形領域を変数変換によって半無限帯状領域に変換し,その領域に2次元Sinc-Galerkin法を適用する.以後の領域分割法の考え方は従来の方法と同じである.

研究成果

• [文献書誌] M.Mori and M.Sugihara: "The Double Exponential Transformation in Numerical Analysis"Journal of Computational and Applied Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] S.-L.Zhang, Y.Oyanagi and M. Sugihara: "Necessary and Sufficient Conditions for the Convergence of Orthomin(k) on Singular and Inconsistent Linear Sysytems"Numerisch Mathemetik. (発表予定).
• [文献書誌] K.Burrage, P.Burrage, and T.Mitsui: "Numerical solutions of stochastic differential equations-implementation and stability issues-"Journal of Computational and Applied Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] D.Furihata: "A Stable and Conservative Finite Difference Scheme for the Cahn-Hilliard Equation"Numerische Mathematik. (発表予定).
• [文献書誌] H.Ogata, M.Sugihara and M.Mori: "DE-type quadrature formulae for Cauchy principal-value integrals and for Hadamard finite-part integrals"Proceedings of the Second Congress ISAAC. (発表予定).