保型形式とモジュラー形式のフーリエ係数及びゼータ関数の数論的研究

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640004
• 研究機関: 岩手大学
• 研究代表者: 小嶋 久祉 岩手大学, 教育学部, 教授 (90146118)
• 研究分担者: 川田 浩一 岩手大学, 教育学部, 助教授 (70271830) ; 沼田 稔 岩手大学, 教育学部, 教授 (50028255) ; 押切 源一 岩手大学, 教育学部, 教授 (70133931) ; 宮井 秋男 岩手大学, 教育学部, 助手 (70003960) ; 小宮山 晴夫 岩手大学, 教育学部, 助教授 (90042762)
• キーワード: 半整数の重さのモジュラー形式 / モジュラー形式 / ゼータ関数の特殊値 / モジュラー形式のフーリエ係数

研究概要

我々の研究は2点に要約出来る。第1の研究成果はWeil表現の理論,志村の一般代数体上のテータ関数の変換公式の結果を用い,虚2次体上の半整数の重さのモジュラ形式fから偶数の重さのモジュラ形式への志村対応Ψをテータ級数を核とする積分作用素で表示した。また,半整数の重さのモジュラ形式fの志村対応Ψによる像F=Ψ(f)のフーリエ係数を,fのフーリエ係数を用いて具体的に求めた。更に,虚2次体上の半整数の重さのモジュラ形式fの平方因子が無い整数におけるFourier係数の平方を,fの志村対応による像F=Ψ(f)に付随するゼータ関数の特殊値を用いて具体的に表示した。
またこの結果は,Bump-Friedberg-HoffsteinによるfのRankin-Selberg convolutionはFに付随するGSp(4)上の半整数のEisenstein級数のNovodvorskyの積分に等しいという予想(Waldspurgerの半整数の重さのモジュラ形式のFourier係数の結果の虚2次体上の半整数の重さのモジュラ形式版と同値)に対する肯定的解決を与える。
また我々はこの結果を一般の代数体上の半整数の重さのMaass wave形式の場合に拡張した。即ち一般の代数体上の半整数の重さのMaass wave形式fの平方因子が無い整数におけるFourier係数の平方を,fの志村対応による像F=Ψ(f)に付随するゼータ関数の特殊値を用いて具体的に表示し,一般の代数体上の半整数の重さのMaass wave形式の場合のBump-Friedberg-Hoffstein予想を解決した。
第2の研究成果は有限体上の特殊線型群SL(2,F_p)の半整数の重さのモジュラ形式の空間への表現の具体的な跡公式の求め表現の重複度を決定した。

研究成果

• [文献書誌] Hisashi Kojima: "On the Fourier coefficients of Maass wave forms of half integral weight over an imaginary qualiatic field"J.reine angew.Math.. 526. 155-179 (2000)
• [文献書誌] Hisashi Kojima: "On the Trace of the representation of SL (2,[Z]/N[Z]) in the space of modular forms of half integral weight"Interdisciplinary Information Sciences. 6. 129-137 (2000)
• [文献書誌] Hisashi Kojima: "On the Fourier coefficients of Hilbert modular forms of half integral weight over algebraic number fields"数理解析研究所講究録. 1173. 113-128 (2000)
• [文献書誌] G.Oshikiri: "On transverse killing fields of metric foliations of manifolds with positive curvature"manuscripta math.. (to appear).
• [文献書誌] G.Oshikiri: "Some differential geometric properties of codimension-one foliations of polynomial growth"Tohoku Math.J.. (to appear).
• [文献書誌] J.Boudern,K.Kawada,T.D.Wooley: "Additive representation in thin sequences,I.;Waring's problem for cubes."Ann.Scient.Ec.Norm Sup.. (to appear).