| 研究概要 |
今年度の最大の成果は,
1.Blochの導手公式の証明
である.これは研究分担者の加藤和也氏との共同研究によるものである.
Blochの導手公式というのは次のようなものである.Xを局所体K上のproper smooth多様体の正則モデルとする.Xのわるい還元の様子は,Xのエタール・コホモロジーへの惰性群の作用の分岐に反映する.これを数値的に表わすものがXの導手Art(X/O_<(K)>)である.Bloch氏はこのコホモロジー的な不変量に対し,交点理論的不変量(Δ_<(X)>,Δ_<(X)>)を定義し,両者の間の等式を予想として提出した.彼はこれを予想すると同時に,Xが代数曲線の場合に証明している.XがKの整数環の有限次拡大のスペクトルの場合には,この等式は,代数的整数論における古典的な導手判別式公式である.
この公式を任意次元の多様体にたいし次の仮定のもとで証明することができた.局所体Kの標数は0であり,正則モデルXの閉ファイバーを被約化したものX_<F,red>はXの単純正規交叉因子である.証明の方針は,最終的にはログ・エタール・コホモロジーに対するLefschetz跡公式に帰着させるものである.この際,もとの公式のログ類似を考えること,局所化されたログ交点積を定義すること,そしてde Jongによるオルタレイションを適用することなどが,証明の要点である.
ほかの研究成果には次のようなものがある.
2.剰余体が完全とは限らない完備離散付値体の分岐理論.
3.非退化双一次形式をもつ完全複体のStiefel-Whitney類.
2.に関しては,そのような体の絶対Galois群に対し,上付き分岐群によるフィルトレイションを定義することができた.これについては,それ自体の性質,加藤 和也氏,藤原 一宏氏により定義されているものとの比較などわかっていないことが多いので,今後も研究を続けていきたい.
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