エタールコホモロジーから生じるガロワ表現の数論

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640013
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 斎藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70201506)
• 研究分担者: 栗原 将人 東京都立大学, 理学部, 助教授 (40211221) ; 寺杣 友秀 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50192654) ; 加藤 和也 京都大学, 理学系研究科, 教授 (90111450) ; 大平 まり 広島県立保健福祉大学, 助教授 (00264474) ; 藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理研究科, 教授 (00229064)
• キーワード: エタール・コホモロジー / ガロワ表現 / 重さスペクトル系列 / 準安定還元 / logスキーム / Hasse-Weil L関数 / 特異点解消

研究概要

交付申請書で目的としてあげた課題1と2について大きな成果があった。
2.重さスペクトル系列
局所体上の準安定な還元をもつ多様体に対し、Rapoport-Zinkにより、重さスペクトル系列が定義されていた。倒錯層の理論をもちいて、このスペクトル系列の簡明な構成を与え、それを使って関手性を示した。さらにChern類を用いて、代数対応の作用も定義した。これらの性質とde Jongのオルタレイションから、局所体上の一般のプロパーかつスムーズな多様体に対し、Weil群の元と代数対応の、1進コホモロジーへの作用の合成の跡の交代和が1によらないことを導いた。このことの応用として、代数体上の多様体のHasse-Weil L関数の悪い因子が1によらないという古典的な予想を、Kunneth成分への射影が代数対応で定義されるというTate予想の一帰結と重さモノドロミー予想という数論幾何の標準的な予想に帰着させることができた。この結果については、韓国で行われた数論幾何国際研究集会で発表した。
1.スムーズな曲線の族のlogスムーズな延長
log正則スキームSの内部U上で定義されたスムーズな曲線の族がS上のlogスムーズな族に延長されるためには、境界S-Uの各生成点で延長されるという明らかな必要条件がある。台スキームSに関する非常に弱い仮定の下で、この条件が十分条件であることを示した。証明にはde Jong-Oort,望月、de Jong-Abramovichらの先行する結果を用いる。この結果には、高次元における、正標数の多様体の特異点解消や、準安定還元への応用がある。この結果は、昨年の研究で示した代数曲面の準安定還元に関する定理の高次元化である。
これらの結果は論文としてまとめ、現在学術雑誌に投稿中である。
3.剰余体が完全でない局所体の分岐
これについては、絶対Galois群の分岐群のフィルトレイションに関する論文を完成した。

研究成果

• [文献書誌] Saito, Takeshi: "Log smooth extension of family of curves and semi-stable reduction"Journal of Algebraic Geometry. (掲載予定).
• [文献書誌] Saito, Takeshi, Abbes, Ahmed: "Ramification of local fields with imperfect residue fields"American Journal of Mathematics. (掲載予定).
• [文献書誌] Saito, Takeshi: "Parity in Bloch's conductor formula"B.Erez(ed.), The Proceedings of the conference, Ramification of Arithmetic schemes. (掲載予定).
• [文献書誌] Nakamura, Iku, Terasoma, Tomohide: "Moduli space of elliptic curves with Heisenberg level structure"Progr. Math., Moduli of abelian varieties. 195. 299-324 (2001)
• [文献書誌] Kato, Kazuya: "Bloch's conductor formula"Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society. 1. 91-95 (2000)
• [文献書誌] 斎藤 毅: "数論幾何におけるガロワ表現"数学. 53-2. 337-348 (2001)