| 研究概要 |
正標数の特異点の研究は,一般には特異点解消の存在が証明されていないなどの技術的な理由から標数0の場合に比べてなかなか進展していないようである。しかしながら,2次元(曲線)の場合は,良い特異点の解消が別に証明されており,正標数の特異点の研究をするのに十分な環境が整っている。
そこで,昨年から今年度にかけての研究では,正標数の孤立特異点に付随する環論的不変量の研究として,最小特異点解消の双対グラフから定まるイデアルのHilbert-Kunz multiplicityを研究した。一つの成果としては,Hilbert-Kunz multiplicityが取り得る最小の値を取る環として,正則局所環を特徴付けた。二つ目に,従来からある重複度や組成列の長さと,この新しい不変量との関係を詳細に調査し,ベロネーゼ部分環をこの不変量を通して特徴付けた。ベロネーゼ部分環は,双対グラフがもっとも簡単な特異点であり,この方向からの研究の出発点になると思われる。
また有理二重点の双対グラフから定まる整閉イデアルに対して,このmultiplicityを双対グラフの言葉で記述するアルゴリズムを得た。このアルゴリズムを見つけるための数値実験に,設備備品として購入した高性能のノートパソコンを用いた。これらの研究は,研究代表者と日本大学の渡辺氏との共同研究が中心であるが,分担者(岡田・橋本)による表現論,Lie環論の立場からの双対グラフの研究と,分担者(向井)の代数幾何学の立場からの研究が多いに役立った。加えて,大阪大学を研究協力者として柳川氏を招聘し,グラフに付随する環の研究の方向性を議論した。
また,研究内容が当初の予定より広がりをみせたため,これらの研究成果の発表として予定していた外国出張の代わりに,夏の国際シンポジウム及び,国内のシンポジウムで途中経過を報告するに留め,次年度以降に改めて,その機会を探ることにした。
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