数論的関数の総和公式とゼータ関数の平均値定理

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640022
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 谷川 好男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50109261)
• 研究分担者: 秋山 茂樹 新潟大学, 理学部, 助教授 (60212445) ; 松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60192754) ; 北岡 良之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022686) ; 木内 功 山口大学, 理学部, 助教授 (30271076)
• キーワード: 多重ゼータ関数 / Bernoulli数 / Rankin-Selberg 級数 / 近似関数等式 / 二乗平均

研究概要

Zagierによる多重ゼータ関数は,その正の整数点での値が数理物理やトポロジーと深い関係を持つことから,近年とみに注目されてきている関数である.例えばごく最近では,Zagier,金子,荒川,大野等によって,正の整数点の間の深い関係式が見いだされている.今回,秋山-江上氏との共同研究によって,多重ゼータ関数が多変数の有理型関数として全平面に解析接続できることを示し,その特異点の状況を調べた.また秋山氏とは,解析接続の式を用いて,多重ゼータ関数の負の整数点での値を研究し,いくつかの興味深い結果を得た.またその系として,Bernoulli数を求める新しいアルゴリズムを見いだした.
従来,私はRankin-Selberg級数の係数和に興味を持ち調べてきた.例えば,その誤差項について,Voronoi公式を導出し,2乗平均やRiesz meanとの関係を調べた(松本氏との共同研究).今回は一般の関数等式をもつディリクレ級数の係数和について研究を進めた.その結果,誤差項のVoronoi公式やある種の下からの評価について結果を得た.現在,その平均的挙動と,元のディリクレ級数の二乗平均との関係を調べている最中である.
平均値定理でも,短区間における平均値定理からは,関数の局所的な性格がより明確にわかる.この観点から木内氏とは,約数問題に現れる誤差項や,ζ(s)の2乗平均の誤差項の短区間における平均値定理を調べてきた.今回はζ(s)^2の近似関数等式の誤差項を対象に研究し,その漸近的表示を得た.その系として,誤差項の平均的な意味での"周期"に当たる量を見いだした.この結果は近々Journal of Ramanujan Math.Soc.誌に掲載される予定である.

研究成果

• [文献書誌] S.Akiyama and Y.Tanigawa: "Calculation of values of L-functions associated to elliptic curves"Mathematics of Computation. 68. 1201-1231 (1999)
• [文献書誌] K.Matsumoto and Y.Tanigawa: "On the zeros of higher derivatives of Hardy's Z-function"Journal of Number Theory. 75. 262-278 (1999)
• [文献書誌] A.Ivic,K.Matsumoto and Y.Tanigawa: "On Riesz means of the coefficients of the Rankin-Selberg series"Math.Proc.Camb Phil Soc.. 127. 117-131 (1999)
• [文献書誌] I..Kiuchi and Y.Tanigawa: "The mean value theorem of the Riemann Zeta-function in the critical strip for short intervals"Number Theory and its Applications (ed.by Gyery and Kanemitsu). 231-240 (1999)
• [文献書誌] I..Kiuchi and Y.Tanigawa: "The mean value theorem of the approximate functional equation of ζ(s)^2 for short intervals"to appear in Journal of Ramanujan Math. Soc. (印刷中).