| 研究概要 |
本年度は有理数体上有限生成な体についての有理点の分布を考えた.特に,アーベル多様体上でこの問題を考え,ラング予想(モーデル予想を含む)とボゴモロフ予想を一般化させた形の定理を証明した.さらに部分アーベル多様体を高さ関数で特徴づけることにも成功した.もう少し,具体的に述べることにする.KをQ上有限生成な体,AをK上のアーベル多様体とする.このとき,研究代表者による高さ関数の理論を用いて,双線形写像<,>:A(F)×A(F)->Rが定義される.これは,代数体上のネロン・テート対をK上にまで一般化したものである.ここで,FはKの代数閉包である.x_1,…,x_r∈A(F)に対して,det(<x_i,x_j>)をδ(x_1,…,x_r)で表すことにする.ΓをA(F)の階数有限の部分群,XをAの部分多様体とする.また,{x_1,…,x_n}をΓのQ-基底とする.このとき,研究代表者により,以下のことが証明された.もし,任意の正数εに対して,集合{x∈X(F)|δ(x_1,…,x_n,x)≦ε}がXでザリスキ位相の意味で稠密であるならば,XはAの部分アーベル多様体のΓ_{div}の元による平行移動である.さらに,Γ=0の場合,上のようなXは,アーベル多様体上のエルミート直線束のアデリックな列によって定義されるXの高さがゼロであるということによって特徴づけられる.
また,分担者による研究については,齋藤が関数体上定義された非超楕円曲線上のモーデル・ヴェイユ群の研究を行い,吉川によってテータ因子とキレン距離についての研究がなされた.
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