| 研究概要 |
Xを正規完備代数多様体,UをXのザリスキ開集合とする.X上のQ-直線束LがU上ネフであるとは,任意のX上の完備な曲線CでUを通るものに対して,LとCの交点数が非負になるときにいう.M-gを種数がgの安定曲線のモジュライ空間とし,M-g^1で高々特異点の数が1つである安定曲線からなるM-gのザリスキ開集合を表すことにする.このとき,本年度前期の研究でM-g上のQ-直線束がM-g^上ネフとなるための必要十分条件をM-g上のトウトロジカル直線束の言葉で記述できることに成功した.これによりM-g^1と交わる曲線からできる錐は多面体であることがわかり,その端線を作る有限個の曲線を具体的に構成することに成功した.不思議なことにこの曲線たちの大部分はM-gの中の超楕円曲線の軌道の中に含まれており,M-o,gの幾何との奇妙な関係を示唆している.さらに,このことはM-g,nの森錐を求める問題であるフルトン予想に向けての第一歩であると考えられる.これらのこと以外に,M-g,nのピカール群を標数に関係なく決定することにも成功した.複素数体上のM-g,nのピカール群生成元はハーラにより位相幾何学的方法により求められているが,正標数の場合よくわかっていなかった.それを今年度の後期に研究し,非可換群によるレベル構造付きモジュライ空間の非特異性を用いることで完全に解決することができた.さらに,サイクル写像により,M-g,nのピカール群と2番目のエタールコホモロジー群は同型になることも同時に証明することに成功した.これにより,正標数の場合を含めて,フルトン予想の取り組みが可能になった.
|
