| 研究概要 |
この科研費での主な研究成果は次の二つ,つまり,(1)有理数体上有限生成な体についての有理点の分布,と(2)安定曲線のモジュライ空間のピカール群とその中の錐,に分類でき,以下でそれぞれについて簡単に成果を述べていく.
(1)アーベル多様体上でこの問題を考え,ラング予想(モーデル予想を含む)とボゴモロフ予想を一般化させた形の定理を証明した.KをQ上有限生成な体,AをK上のアーベル多様体とする.このとき,研究代表者による高さ関数の理論を用いて,双線形写像<,>:A(F)×A(F)->Rが定義される.これは,代数体上のネロン・テート対をK上にまで一般化したものである.ここで,FはKの代数閉包である.x_1,…,x_r∈A(F)に対して,det(<x_i,x_j>)をδ(x_1,…,x_r)で表すことにする.ΓをA(F)の階数有限の部分群,XをAの部分多様体とする.また,{x_1,…,x_n}をΓのQ-基底とする.このとき,もし,任意の正数εに対して,集合{x∈X(F)|δ(x_1,…,x_n,x)≦ε}がXでザリスキ位相の意味で稠密であるならば,XはAの部分アーベル多様体のΓ-{div}の元による平行移動であるという結果が得られた.
(2)Xを正規完備代数多様体,UをXのザリスキ開集合とする.X上のQ-直線束LがU上ネフであるとは,任意のX上の完備な曲線CでUを通るものに対して,LとCの交点数が非負になるときにいう.M_gを種数がgの安定曲線のモジュライ空間とし,M_g^1で高々特異点の数が1つである安定曲線からなるM_gのザリスキ開集合を表すことにする.このとき,M_g上のQ-直線束がM_g^1上ネフとなるための必要十分条件をM_g上のトウトロジカル直線束の言葉で記述できることに成功した.これによりM_g^1と交わる曲線からできる錐は多面体であることがわかり,その端線を作る有限個の曲線を具体的に構成することに成功した.さらに,このことはM_g,nの森錐を求める問題であるフルトン予想に向けての第一歩であると考えられる.
|
