結び目と3次元多様体のトポロジー

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640065
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 大槻 知忠 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (50223871)
• 研究分担者: 村上 斉 早稲田大学, 理工学部, 助教授 (70192771)
• キーワード: 結び目 / 3次元多様体 / 量子不変量 / 双曲幾何 / 体積予想

研究概要

結び目と3次元多様体の量子不変量に関運して、筆者は3次元多様体の摂動的不変量、LMO不変量(普遍摂動的不変量)、有限型不変量を定義してこれらについて研究し、さらに有限型不変量が定める結び目や3次元多様体の集合の構造について研究してきた。これらの内容について筆者は現在著書を執筆中であり、本研究において各地の研究者と研究上の議論や研究連絡を活発に行うことにより、研究内容をまとめるにあたって有益な研究交流を行った。
さて、ある量子不変量の漸近挙動が,結び目の補空間の双曲体積を決めるのではないか,という予想が最近提唱されている(R.Kashaev-村上順-村上斉による「体積予想」)。量子不変量と双曲幾何は双方ともに3次元多様体論の重要なトピックスとして従来は異なる分野としてそれぞれに発展してきたが体積予想はこれら2つのトピックスを関連づける等式であり、さらに、それにとどまらず、量子場の理論と幾何構造を結び付ける未知の背景があることを予感させる重要な予想であるとおもわれる。本研究の研究分担者である村上斉は国際高等研究所において体積予想に関する研究報告を開催し、筆者もこれに参加し、この研究集会において量子不変量と双曲幾何の研究者の活発な研究交流が行われた。本研究の一部としてこの研究集会を支援した。

研究成果

• [文献書誌] T.Ohtsuki: "How to construct ideal points of SL2(C) representation space of knot groups"Topology Appl.. 93. 131-159 (1999)
• [文献書誌] T.Ohtsuki,T.Le,H.Murakami and J.Murakami: "A three-manifold invariant via the Kntsevich integral"Osaka J.Math.. 36(2). 365-396 (1999)
• [文献書誌] T.Ohtsuki: "The perturbative SO(3) invariant of rational homology 3-spheres recovers from the universal perturbative invariant"to appear in Topology.
• [文献書誌] H.Murakami: "A eight system derived from the multivariable Conway potential function"J. London Math. Soc.. 59. 698-714 (1999)
• [文献書誌] H.Murakami and A.Yasuhara: "Four-genus and four-dimensional clasp number of a knot"to appear in Proc.Amer.Math.Soc..
• [文献書誌] S.Chmutov,V.Goryunov and H.Murakami: "Regular Legendrian knots and the HOMELY polynomial of immersed plane curves"to appear in Math.Ann..
• [文献書誌] T.Ohtsuki: "Combinatorial quantum method in 3-dimensional topology MSJ Memoris 3"Math.Soc.Japan. 83 (1999)
• [文献書誌] 大槻知忠、村上順、村上斉諸氏と共著: "量子不変量-三次元トポロジーと数理物理の遭遇"日本評論社. 154 (1999)