| 研究概要 |
結び目と3次元多様体の量子不変量に関連して,筆者は摂動的不変量,LMO不変量(普遍摂動的不変量),有限型不変量を定義して研究してきた.結び目の量子不変量はKontsevich不変量とVassiliev不変量を用いて統一的に理解され,3次元多様体の量子不変量はこれを漸近展開してえられる摂動的不変量についてLMO不変量と有限型不変量を用いて統一的に理解される.数理物理的には,Chern-Simons汎関数をLagrangianとする場の量子論における経路積分で表示された相関関数として量子不変量は表され,その結果,これに関連する不変量が配置空間上の積分や配置空間の写像の写像度として構成される.さらにその応用として結び目の集合や3次元多様体の集合をある程度特定することが可能になる.量子不変量をめぐるこれらのトピックスについての包括的な解説をするため,筆者は著書「Quantum Invariants-A study of knots,3-manifolds,and their sets」を執筆中であり,本研究において,この著書の準備稿を完成した.
colored Jones多項式と呼ばれる結び目の量子不変量の特殊値について,そのパラメータを無限大にとばしたときの漸近挙動が,結び目の補空間の双曲体積を決めるのではないか,と予想されている(R.Kashaev-村上順-村上斉による「体積予想」)。体積予想は,量子不変量と双曲幾何という3次元多様体論の重要な2つのトピックスを関連づける等式であり、さらに、量子場の理論と幾何構造を結び付ける未知の背景があることを予感させる重要な予想である。本研究において,筆者は体積予想について各地の研究者と研究連絡を行ない,中央大学において概説を講演した.
|
