| 研究概要 |
アレクサンドロフ空間全体のなす空間,及びリーマン多様体全体のなす空間の構造を研究した.曲率が下から,次元が上から押さえられたアレクサンドロフ空間全体の空間にハウスドルフ距離を与えた距離空間をAとし,この上の上半連続関数の関数空間をIと表す。Iは不変量のなす空間と云える。この点から観ると球面定理・収束定理・崩壊定理はAとIの構造の中でも初等的な位相的性質を調べていると解釈できる。一見これらの空間は手がつけららない程複雑に見えるがAは局所コンパクト空間(Gromovのプレコンパクト性定理)であり,これまで研究してきた距離空間の微分幾何の手法を基に色々な構造を調べることができた。まず,一点のなす空間,及びリーマン多様体に崩壊する曲率が一様に押さえられたリーマン多様体の空間を調べた。このような場合は個々の空間の構造はGromovや深谷により既に知られているので,それを使うことで具体的に全体空間の位相を調べた。次に,アレクサンドロフ空間全体のなす空間を調べる方法を展開した。まず,アレクサンドロフ空間に有限個の点のなす空間を考え,この点の間の距離を使って行列の空間への埋め込みを考えた,これを精密に行うことによりアレクサンドロフ空間のネットの空間を無限次元バナッハ空間に等長的に埋め込むことができ,これを使ってAの性質を調べた.また,これはA上のファイバー空間と思うこともでき,ファイバー空間の速度や位相を調べることで,アレクサンドロフ空間の不変量を定義しそれらの性質を調べた。
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