| 研究課題/領域番号 |
11640077
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
渡辺 清 神戸大学, 理学部, 助教授 (60091245)
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| 研究分担者 |
山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
ラスマン ウエイン 神戸大学, 理学部, 助教授 (50284485)
宮川 鉄朗 神戸大学, 理学部, 教授 (10033929)
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| キーワード | 平均曲率 / 無限遠境界 / 熱核 / モース指数 / ヴェンテトーラス / 極小曲面 / ドローネ曲面 / ガウス写像 |
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| 研究概要 |
曲面の曲がり方を測る尺度としての平均曲率は、曲面の外在的量として曲面の空間での置かれ方を測る重要な量である。平均曲率が恒等的に0である曲面は極小曲面とよばれ、表面積最小曲面が重要な例である。平均曲率が一定で0でない曲面は、体積一定のまま表面積を最小にすると得られる。球面は自明な例であるが、1984年にヴェンテは平均曲率一定なトーラスを発見した。我々の研究は、このことに関係している。研究分担者のラスマンウェイン氏が精力的に研究されたので、主にその結果を報告するが、得られた結果を大別すると以下の4つとなる。
1.ヴェントトーラスのモース指数
前から使っている方法を用いて、平均曲率一定曲面として最も典型的でHopf予想に対する最初の反例であったWente toriの指数を初めて評価した。この結果からWente tori及び平均曲率一定曲面の最小指数は球面を除けば9であることが予想される。
2二重周期極小曲面
二重周期的でScherk型のend(無限遠境界)をもつ極小曲面について、KarcherとWeiによる結果を拡張して、様々の位相型をもつ曲面の存在を示した。例えば、4κ個のScherk型のendをもち、genusが3の極小曲面の1次元族の構成方法を与えた。
3.面積最小円板の埋蔵
3次元ユークリッド空間内のpolygonal Jordan curveを境界とするDouglas-Rado解が滑らかで一意的に存在する条件を求め、境界での対称性を使って、catenoid-endの極小曲面の広いクラスを構成した。
4.離散スペクトルとワイルの漸近公式
錐型の孤立特異点をもつ曲面のラプラススペクトルについての最近の発展を、余次元2の特異性を持つ場合に拡張した。スペクトルの離散性を証明し、スペクトルの発散度に関するWeylの漸近公式が成り立つことを示した。
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