| 研究概要 |
本年度は実K-理論に付随したホップ・アルジェブロイドKO_*KOと複素射影空間のKO-コホモロジー及びKO-ホモロジーとの関係を調べるために,これらの構造について研究を行った.
その準備として,KO-スペストラムについての考察を行うことにより,KO-ホモロジーにおいては懸垂同型写像KOm(3^n)→KO_<m+1>(S^<n+1>)とHopf写像の(n-2)-重懸垂から誘導される写像KO_<m+1>(S^<n+1>)→KO_<m+1>(S^n)の合成が係数環KO_*の1次元の生成元αを掛ける写像に一致することを示し,KO-コホモロジーにおいてはHopf写像の(n-2)-重懸垂か誘導される写像KOm(S^n)→KOm(S^<n+1>)と懸垂同型写像の逆写像KOm(S^<n+1>)→KO_<m-1>(S^n)の合成が係数環KO_*の-1次元の生成元αを掛ける写像に一致することを示した.この事実を用いることにより,KO_*(CP^n), KO^*(CP^n)に収束するAtiyah-Hirzebruch スペクトル系列のE^2-, E_2-項の微分が決定され,E^3-,E_3-項がそれぞれE^∞-,E_∞-項になることが示された.
KO_*(CP^n), KO^*(CP^n)の生成元は複素K-理論からの実化写像K_*(CP^n)→KO_*(CP^n), K^*(CP^n)→KO^*(CP^n)を用いて定義され,E^∞-, E_∞-項の対応する要素を見いだした.さらにnが偶数の場合,複素化写像KO^*(CP^n)→K^*(CP^n)が単射であることを用いてKO^*(CP^n)の環構造を決定した.同様の方法で複素射影空間の直積のKO-コホモロジーKO^*(CP^n×CP^m)の環構造も決定した.この結果からKO^*(CP^n×CP^m)はKO(CP^n)とKO^*(CP^m)のテンソル積にはなっておらず,CP^∞の積写像μ:CP^∞×CP^∞→CP^∞がKO-コホモロジーにおいて誘導する写像の像はKO^*(CP^∞)とKO^*(CP^∞)のクロス積の像に含まれないことが判明した.このことは,KO^*(CP^∞)はμによる形式群の構造を持たないことを意味する.
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