代数曲線を用いた組合せ的配列やブロック・デザインの構成に関する研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640099
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 藤原 良叔 筑波大学, 社会工学系, 教授 (30165443)
• 研究分担者: 栗木 進二 大阪府立大学, 大学院・工学研究科, 助教授 (00167389) ; ミャオ イン 筑波大学, 社会工学系, 講師 (10302382)
• キーワード: バランスド巣型デザイン / バランスド・アレイ / Frame / 符号分割多元接続 / 光直交符号 / 周波数ホッピング多元接続 / 分割型の差詰集合族 / 有限アフィン幾何

研究概要

バランスド巣型デザイン(BND)と呼ばれる組合せ構造とバランスド・アレイ(BA)と呼ばれる組合せ的配列が同値であることを示し、ブロックサイズが3と4のBNDの存在性を完全に解決し、それを活かしてBAを構成した.特に存在が未確認の各種の組合せ的デザインを構成することを中心的な課題としている.今年度は、二重組分けデザインと二重Frameという新しい概念を利用して、既存の組合せ的デザインやFrameなどの再帰的構成法を統一し、新しい再帰的構成法を発見した.直交配列の一種で条件が厳しくなった順序直交配列の構成に3次元射影幾何上のTwisted cubicと呼ばれる代数曲線を用いて構成する方法を発見した。
また携帯電話で使われている符号分割多元接続(CDMA)方式を光ファイバー上で行うときの符号である光直交符号に関する研究を行なった.新しい光直交符号の構成に組合せ的デザイン理論上の各種の性質や構成法を用いている.今年度は、最適な巡回的t-packingと呼ばれる組合せ的デザインと最適な光直交符号との同値関係に基づき、不完備差行列とよばれる組合せ構造、及び有限character sumに関するWeilの定理などを利用することで、重みが4の最適な光直交符号の無限系列をいくつか構成した。
つぎに,CDMAと同じスペクトラム拡散通信の種類に,周波数ホッピング多元接続とよばれる通信方式がある.そのとき周波数のホッピングさせかたを,周波数ホッピング系列(FHS)という.この最適FHSの構成に,分割型の差詰集合族と呼ばれる組合せ構造と同値であることを証明し,その構成法の研究を行った。いくつかの新しい構成法を発見し今までに知られていない多くの最適FHSを構成した.特に有限アフィン幾何を用いた構成法は、過去四半世紀に開発されたほとんどの最適FHSをカバーする。それ以外に各種の組合せ的デザインや代数的性質を使って、新しい最適FHSが構成できることを示した。この結果はIEEE ITに投稿中である。

研究成果

• [文献書誌] R. Fuji-Hara, Y. Miao, J. Yin: "Optimal (9v, 4, 1) optical orthogonal codes with v a product of primes congruent to 1 modulo 4"SIAM Journal on Discrete Mathematics. Vol 14. 256-266 (2001)
• [文献書誌] R. Fuji-Hara, Y. Miao, J. Wang, J. Yin: "Directed B(K, 1 ; v) with K-{4, 5} and {4, 6} Related to Deletion/Insertion-Correctiong Codes"Journal of Combinatorial Designs. Vol.9. 147-156 (2001)
• [文献書誌] R. Fuji-Hara, Y. Miao, S. Shinohara: "Complete Set of disjoint difference families and their applications,"Journal of Statistical Planning and Influence. (掲載予定).
• [文献書誌] R. Fuji-Hara, S. Kuriki, Y. Miao, S. Shinohara: "Balanced nested designs and balanced n-ary designs"Journal of Statistical Planning and Influence. (掲載予定).
• [文献書誌] R. Fuji-Hara, Y. Miao: "A note on a geometrical construction of (t, m, s)-net and ordered orthogonal arrays"Journal of Codes, Design and Cryptograph. (掲載予定).
• [文献書誌] R. Fuji-Hara, S. Kageyama, S. Kuriki, Y. Miao, S. Shinohara: "Balanced Nested designs and Balanced Arrays"Discrete Mathematics. (掲載予定).
• [文献書誌] R. J. R. Abel, M. Buratti, M. Greig, Y. Miao: "Constructions for rotational near resolvable block designs"Journal of Combinatorial Designs. 9. 157-181 (2001)
• [文献書誌] R. J. R. Abel, M. Greig, Y. Miao, L. Zhu: "Resolvable BIBDs with block size 7 and index 6"Discrete Mathematics. 226. 1-20 (2001)
• [文献書誌] S. Kageyama, Y. Miao: "Existence of nested designs with block size five"Journal of Statistical Planning and Inference. 94. 249-254 (2001)
• [文献書誌] C. Lam, Y. Miao: "(C+G, k, λ) difference families"Designs, Codes, and Cryptography. 24. 291-304 (2001)
• [文献書誌] C. Lam, Y. Miao, M. Mishima: "Cyclically resolvable cyclic Steiner 2-systems S(2, 4, 52)"Journal of Statistical Planning and Inference. 95. 245-256 (2001)
• [文献書誌] Y. Chang, Y. Miao: "Constructions for optimal optical orthogonal codes"Discrete Mathematics. (掲載予定).
• [文献書誌] Y. Chang, Y. Miao: "General constructions for double group divisible designs and double frames"Designs, Codes and Cryptography. (掲載予定).
• [文献書誌] T. Hishida, K. Ishikawa, M. Jimbo, S. Kageyama, S. Kuriki: "Non-existence of a nested BIB design NB(10, 15, 2, 3)"The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. 36. 55-63 (2001)
• [文献書誌] I. Mejza, S. Kuriki, S. Mejza: "Balanced square lattice designs in split-block designs"Colloquium Biometryczne. 31. 97-103 (2001)