| 研究概要 |
自然数の理論の可算モデルに関する次の予想を研究した。
予想:Mを一階ペアノ公理の超準可算モデルとする。通常の自然数の部分ωはその部分モデルになっている。しかし,ωをimplicitに定義する論理式φは存在しない。
いくつか,注意をしておく必要がある。ペアノ公理は帰納法をすべて含んでいるので,1階論理式Ψ(χ)でΨの解集合がωに一致するものはない。すなわち,通常の意味でωは定義可能集合にはならない。われわれは定義可能性の概念を少し拡大した。すなわち,2階の変数Χをもつ論理式ψ(Χ)がωをimplicitに定義するとは,集合ωがψ(Χ)のただひとつの解になっていることと定義した。われわれは,上の予想は論理式の範囲を狭めれば正しいことを示すことに成功した:
結果:ωをimplicitに定義するsimpleなformulaはない。
ここでsimpleな論理式は,Xが関数で閉じているという形の主張はすべて含む大きなクラスである。
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