非線形確率力学系における保存量・対称性概念とその応用

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640132
• 研究機関: 名古屋市立大学
• 研究代表者: 三澤 哲也 名古屋市立大学, 経済学部, 教授 (10190620)
• 研究分担者: 橋本 佳明 名古屋市立大学, 自然科学研究教育センター, 教授 (50106259) ; 清水 昭信 名古屋市立大学, 自然科学研究教育センター, 教授 (10015547) ; 宮原 孝夫 名古屋市立大学, 経済学部, 教授 (20106256)
• キーワード: Nonlinear stochastic system / Composition methods / Computational finance / Geometric Levy process / Incomplete market / Positively recurrent Markov chain / Stochastic logistic process / Nonlinear partial differential equations

研究概要

本研究の課題は、何らかの不確定要因を内包する現象の数学モデルとして様々な分野で用いられている確率微分方程式系(確率力学系)のうち、特に陽に解くことが困難とされる非線形系を対象に、系が保有する構造や特性が再現されうるような数値・近似解析法を開発すること、またファイナンスや生物モデルなどに現れる具体的な確率系の数値解析に適用し、その有効性を検証することである。本年度は、研究代表者・分担者が各自の担当課題研究を深化させ今後の発展方向とその可能性を探ると同時に、これまでの結果について、関連雑誌・学会・国際会議などで研究発表を行った。その具体的内容の概略を述べる。(1)三澤は、上記のような近似・数値スキームの作成法をLie代数の手法を援用して定式化し、その局所的近似評価も与えた。また本手法がn乗根型ボラティリティをもつ危険資産の数値解析に有効であることも検証した。(2)課題の応用調査研究の一環として、三澤は、「ノイズ摂動を伴う非線形マクロ動学系」の数値分析について共同研究の形で取り組んだ。(3)宮原は、「数理ファイナンス理論」に関連して、原資産価格を幾何レヴィ過程で記述し、その上のオプション価格を定めるマルチンゲール測度を相対エントロピーの最小性で決定する数理モデルを構築し、その性質、適用可能性を研究した。(4)清水は、「数理生物モデル」に関連して、マルコフ過程における再帰時間のモーメント有界性と推移確率の定常分布への漸近速度との関係、正規化subordinatorから決まる離散型分布のサンプリング公式、確率ロジスティック系における絶滅時間期待値の漸近挙動という話題について重要な結果を導いた。(5)今後の研究の発展方向とその可能性を探った橋本は、「非線形関数方程式の解析法」に関連して、ソボレフ空間の表現定理と正定値超関数への応用、パラ微分作用素と解の正則性への応用について新しい知見を得た。

研究成果

• [文献書誌] T.Misawa: "Energy conservative stochastic difference schemes for stochastic Hamilton dynamical systems"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 17. 119-128 (2000)
• [文献書誌] T.Misawa: "Numerical integration of stochastic differential equations by composition methods"京都大学数理解析研究所講究録. 1180. 166-190 (2000)
• [文献書誌] T.Asada,T.Misawa and T.Inaba: "Chaotic Dynamics in a Flexible Exchange Rate System : A Study of Noise Effects"Discrete Dynamics in Nature and Society. 4. 309-317 (2000)
• [文献書誌] T.Asada,T.Inaba and T.Misawa: "A Nonlinear Macrodynamic Model with Fixed Exchange Rates : Its Dynamics and Noise Effects"Discrete Dynamics in Nature and Society. 4. 319-331 (2000)
• [文献書誌] T.Asada,T.Misawa and T.Inaba: "Nonlinear Economic Dynamics in a Two-Country Model with fixed exchange rates"Proc.of 2000 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications, Dresden, Germany, Sept.17-21, 2000. 515-518 (2000)
• [文献書誌] 宮原孝夫: "Levy過程の数理ファイナンスへの応用"統計数理研究所共同研究リポート. 127. 15-20 (2000)
• [文献書誌] Y.Miyahara: "A Theorem Related to Log Levy Processes and its Application to Option Pricing Problems in Incomplete Markets"Italian School of East Asian Studies, Natural and Math.Sciences Series, Instituto Italiano di Cultura (KYOTO). 3. 331-335 (2000)
• [文献書誌] Y.Miyahara: "[Geometric Levy Process & MEMM] Pricing Model and Related Estimation Problems"Asia-Pacific Financial Markets. (掲載予定).
• [文献書誌] T.Shiga,A.Shimizu and T.Soshi: "Passage-time moments for positively recurrent Markov chains"Nagoya Mathematical Journal. (掲載予定).
• [文献書誌] 清水昭信: "Generalized Ewens'sampling formulas"京都大学数理解析研究所講究録. 1193(掲載予定).
• [文献書誌] 佐藤一憲,清水昭信: "生息地の破壊がもたらす個体群動態への影響"京都大学数理解析研究所講究録. 1193(掲載予定).
• [文献書誌] Y.Hashimoto: "On some remarks of Representation Theorems of Sobolev's Spaces and Boundary Value Problems"Annual Review 2000, Institute of Natural Sciences, Nagoya City University. 5(掲載予定). (2001)