| 研究課題/領域番号 |
11640133
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
小松 孝 大阪市立大学, 理学部, 教授 (80047365)
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| 研究分担者 |
伊達山 正人 大阪市立大学, 理学部, 講師 (10163718)
釜江 哲朗 大阪市立大学, 理学部, 教授 (80047258)
根来 彬 静岡大学, 工学部, 教授 (80021947)
平場 誠示 大阪市立大学, 理学部, 講師 (30260798)
吉田 雅通 大阪市立大学, 理学部, 助手 (60264793)
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| 研究期間 (年度) |
1999 – 2000
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| キーワード | ヘルマンダーの定理 / マリアバン解析 / 擬微分作用素 / 準楕円性 / 推移密度関数 / マルコフ過程 / 飛躍型確率過程 / 確率微分方程式 |
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| 研究概要 |
Malliavin解析によって次の放物型擬微分作用素に対するHormanderの定理の研究を行った。
∂_t+L=∂_t+(A_0+1/2Σ^^m__<k=1>(A_k)^2+∫(B_θ-I)π(dθ))
ただしπ(dθ)=|θ|^<-m-α>dθ(θ∈R^m,0<α<2),A_k=a_k(x)・∂_x(x∈R^d)でB_θはB_θφ(x)=φ(x+b(x,θ))によって定義される作用素とする。この作用素の準楕円性は、次の確率微分方程式の解として定まる飛躍型Markov過程の推移確率が、滑らかな密度関数を持つことと同義である。
x_t=x_0+∫^t_0(a_0(x_s)ds+Σ^^m__<k=1>a_k(x_s)odβ^k(s)=∫b(x_<s->,θ)J(dsdθ))
ただしβ(s)=(β^k(s))はm次元Brown運動でJ(dsdθ)はE[J(dsdθ)]=π(dθ)dsを満たすPoissonランダム測度である。通常の放物型微分作用素に対する同様の問題はMalliavin解析で研究されている。
ここでは飛躍型Markov過程の変分をLevy過程のGirzanov変換によって行い、必要なカデ・ラグ空間上のある部分積分公式を示した。その際、Malliavin共分散行列に関するある汎関数のLaplace変換が強い減衰性を持つことを示す必要があった。今まで、その種の強い減衰性は長くて複雑な論法によって示されてきた。ここではそれを簡単な新手法によって示したが、この手法で鍵となっているのは、一般的セミマルチンゲールについてのある評価式である。これによって、Leandreによって導入されたHormander型の条件を本質的にゆるめた条件のもとで、対応する飛躍を持つMarkov過程の推移確率が、滑らかな密度関数を持つことを示した。
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