組合せ幾何に関する研究

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640135
• 研究機関: 慶應義塾大学
• 研究代表者: 太田 克弘 慶應義塾大学, 理工学部, 助教授 (40213722)
• 研究分担者: 前田 吉昭 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (40101076) ; 榎本 彦衛 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00011669) ; 塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00015835) ; 中本 敦浩 大阪教育大学, 教育学部, 助手 (20314445) ; 神保 雅一 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (50103049)
• キーワード: 三角形分割 / 四角形分割 / 本型空間 / 対角変形 / 向き付け不可能曲面 / グラフ / 埋め込み

研究概要

幾何学的対象に埋め込まれたグラフの研究としては,まず閉曲面の三角形分割や四角形分割についての研究を行った.三角形分割に対しては,頂点数が十分大きければ,同じ頂点数をもつ三角形分割は,対角変形と呼ばれる基本変形を繰り返すことで互いに移りあえることが知られているが,さらに最小次数等の制約条件を付けても同様の結果が成り立つことを示した.平面グラフの性質として,指定された頂点数をもつような連結部分グラフで,どのくらい次数和が小さいものが存在するかについて,漸近的に最善の評価を与えた.本型空間ヘグラフを埋め込む問題に関して,本の背との交差を許す埋め込みについて考え,任意のグラフを3貢の本型空間に,0(MlogN)の交差で埋め込めることと,この埋め込みがある意味で最善であること,つまりグラフがdenseならば下限も同じオーダーになることを証明した.
また,平面上の三角形分割であって,他の閉曲面の四角形分割としても埋め込むことのできるグラフについて,任意の閉曲面に対してそのようなものが構成できることを証明した.一方で,平面の5連結三角形分割は向き付け可能な曲面の四角形分割になることはなく,向き付け不可能曲面の四角形分割になるための必要十分条件が,グラフの組合せ的性質で特徴付けられることを証明した.また,向き付け不可能な曲面特有の性質として,向き付け可能曲面に切り開ける奇閉路が存在するような四角形分割は,染色数が4以上になることを示した.ここで用いられた議論をトーラスとクラインの壺に適用することによって,それらの曲面の四角形分割の染色数は,ある位相幾何学的性質によって特徴付けられることを示した.

研究成果

• [文献書誌] Amou M.: "Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series"J.Number Theory. 77. 155-169 (1999)
• [文献書誌] Anazawa T.: "Optimum requirement spanning trees and reliability of tree networks"Networks. 34. 122-131 (1999)
• [文献書誌] Egawa Y.: "Vertex-disjoint claws in graphs"Discrete Math.. 197/198. 225-246 (1999)
• [文献書誌] Enomoto H.: "Extremal 2-connected graphs with given diameter"Tokyo,J.Math.. 22. 1-16 (1999)
• [文献書誌] Enomoto H.: "Neighborhood unions and factor critical graphs"Discrete Math. 205. 217-220 (1999)
• [文献書誌] Enomoto H.: "Lower bounds for the number of edge-crossings over the spine in a topological book embedding of a graph"Discrete Appl. Math.. 92. 149-155 (1999)
• [文献書誌] Enomoto H.: "Connected subgraphs with small degree sums in 3-connected planar graphs"J.Graph Theory. 30. 191-203 (1999)
• [文献書誌] Katsurada M.: "Rapidly convergent series representations forζ(2n+1)and their X-analogue"Acta Arith.. 90. 79-89 (1999)
• [文献書誌] Komuro H.: "Diagonal flips in triangulations on closed surfaces with minimum degree at least 4"J.Combin. Theory Ser. B. 76. 68-92 (1999)
• [文献書誌] Nakamoto A.: "Generating quadrangulations of surfaces with minimum degree at least 3"J.Graph Theory. 30. 223-234 (1999)
• [文献書誌] Nakamoto A.: "Transformations in closed 2-cell embeddings on surfaces preserving specified properties"Discrete Math.. 197/198. 607-615 (1999)
• [文献書誌] Enomoto H.: "Embedding graphs into a three page book with O(M log N) crossings of edges over the spine"SIAM J.Discrete Math.. 12. 337-341 (1999)