| 研究概要 |
・セミディスクリート発展方程式のハミルトン構造,またさらにバイハミルトン構造の概念をシフト作用を持つ環上にスカウテン括弧式の概念を導入して定義した.またそのような構造をもつ方程式の例をいくつか構成した.しかし一般的にはバイハミルトン構造をもつセミディスクリート発展方程式は,連続の場合と異なり,かなり限られたものであり,実際に可積分であろうと思われる方程式でもバイハミルトン構造を持ちそうにないものがあることがわかってきた.
・代数的Deift-Trubowitz型跡公式を基礎に,高次定常KdV方程式に同値な有限自由度のハミルトンの正準方程式を導いた.得られた方程式がLiouvilleの意味で完全積分可能であることがもとの定常KdV方程式よりもはるかに容易に示される.さらにその解から代数的に構成される代数幾何学的ポテンシャルのスペクトルに関する情報が方程式に陽に含まれている.さらに,それはある種の退化条件を満たせば,球面に束縛された調和振動子を記述するNeumann系に帰着されることが示された.またDubrovin-Novikov系との関連も明らかにされた.
・パンルヴェおよび離散パンルヴェ方程式の解,τ関数と対称性に関する研究を行った.特に,パンルヴェ方程式に関して,古典解に関する行列式表示から出発して,超越解を含む一般的な状況でも解の行列式構造が普遍的なものであることがわかった.また,離散系の解を議論するために特異点閉じ込めテストを利用することが有効であることがわかり,これを用いて離散パンルヴェ方程式の解や対称性について研究した.
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