ギンヅブルグ・ランダウ方程式の渦糸の安定性と数値解析

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640141
• 研究機関: 龍谷大学
• 研究代表者: 森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
• 研究分担者: 岡 宏枝 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221) ; 池田 勉 龍谷大学, 理工学部, 教授 (50151296) ; 四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361) ; 二宮 広和 龍谷大学, 理工学部, 講師 (90251610) ; 神保 秀一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80201565)
• キーワード: ギンヅブルグ・ランダウ方程式 / 渦糸解 / 平衡解の安定性 / 解の分岐構造 / 非線形偏微分方程式 / 力学系

研究概要

ノイマン問題のギンツブルグ・ランダウ(GL)方程式に現れる渦糸の安定性は,領域の幾何学的な形状に依存していることが知られている.3次元の薄いフィルム状の領域の問題は,2次元の変数係数の方程式で近似し,表面の縦方向の変化は係数の変化に置換えることができる.森田と神保は,このような係数に非一様性を入れた方程式について安定な渦糸の存在を円盤領域で証明した.
渦糸の問題では,どのような平衡状態が存在し得るかということはもちろんのこと,その運動について調べることも渦糸の性質を知る上で重要である.数値計算では,渦糸の衝突,消滅が観察されている.ここで扱っているGL方程式は,数学的には反応拡散方程式の範疇に入る.森田とその共著者は,反応拡散方程式に現れる遷移層の衝突,消滅現象を数学的に証明した.池田は,その共著者と反応拡散方程式の進行波解の分岐について大域的な構造を調べた.このような研究は渦糸の運動の研究に欠かせない.また,GL方程式では,2次元領域における渦糸の運動は,あるパラメータの極限問題を考えると常微分方程式で記述されることが知られている.渦糸の大域的な運動を解明するためには,このような常微分方程式の力学系の研究が重要である.森田や岡は,その共著者達とある種の常微分方程式の成す力学系について,大域的な運動や,分岐の構造を調べる手法を発展させた.
GL方程式の平衡解は非線形項をもつ楕円型方程式である.四ツ谷や二宮は,その共著者達と,非線形楕円型方程式の解の構造の研究を押し進め,解のタイプの分類や分岐構造を明らかにした.また,渦糸解の多彩な構造や安定性の研究を発展させていくためには,数値計算による研究も欠かせない.西成や石渡等は,非線形問題に対する高度な数値計算法を発展させた.

研究成果

• [文献書誌] Y.Morita,M.Pernarowski and J.Dockery: "Homoclinic Bifucations in a Diffusively Coupled Excitable System"Fields Institute Commucations. Vol.21. 397-407 (1999)
• [文献書誌] S.Jimbo and Y.Morita: "Stable Vortex Solutions to the Ginzburg-Landau Equation with a Variable Coeffcient in a Disk"J.Diff.Eqns.. Vol.155. 153-176 (1999)
• [文献書誌] Y.Morita and Y.Mimoto: "Collision and Collapse of Layers in a 1-D Scalar Reaction-Diffusion"Physica D. (掲載予定).
• [文献書誌] H.Ikeda and T.Ikeda: "Bifurcation phenomena from standing pulse solutions of bistable reaction-diffusion systems"J.Dynamics and Diff.Eqns.. (掲載予定).
• [文献書誌] T.Ikeda and H.Ikeda: "Hopf bifurcation of traveling pulses in some bistable reaction-diffusion systems"Methods and Appl.Anal.. (掲載予定).
• [文献書誌] M.Minura,M.Nagayama,H.Ikeda and T.Ikeda: "Dynamics of travelling breathers arising in reaction-diffusion systems-ODE modelling approach-"Hiroshima Mathematical Journal. (掲載予定).
• [文献書誌] H.Kokubu,K.Mischaikow and H.Oka: "Directional transition matrix,in"Conley Index Theory""Banach Center Publication. Vol.47. 133-144 (1999)
• [文献書誌] T.Gedeon,H.Kokubu,K.Mischaikow,H.Oka,and J.Reineck: "Conley index for fast-slow systems I : One-dimensional slow variable"J.Dynamics and Diff.Eqns.. Vo.11. 427-470 (1999)
• [文献書誌] H.Morishita,E.Yanagida and S.Yotsutani: "Structural change of solutions for a scalar curvature equation"Differential and Integral Equations. (掲載予定).
• [文献書誌] H.Morishita,Y.Kabeya,H.Ninomiya: "Imperfect bifurcations arising from elliptic boundary value problems"Nonlinear Analysis:T.M.A. (掲載予定).
• [文献書誌] K.Nishinari: "A Discrete Model of an Extensible String in Three-dimensional Space"J.Appl.Mech.. vol.66. 695 (1999)
• [文献書誌] T.Ishiwata and M.Tsutsumi: "Semidiscretization in space of Nonlinear Degenerate Parabolic Equations with Blow-up Solutions"J.Computational Mathematics. (掲載予定).