ギンヅブルグ・ランダウ方程式の渦糸の安定性と数値解析

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640141
• 研究機関: 龍谷大学
• 研究代表者: 森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
• 研究分担者: 岡 宏枝 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221) ; 池田 勉 龍谷大学, 理工学部, 教授 (50151296) ; 四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361) ; 神保 秀一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80201565) ; 二宮 広和 龍谷大学, 理工学部, 講師 (90251610)
• キーワード: ギンヅブルグ・ランダウ方程式 / 渦糸 / 安定性 / 解の分岐構造 / 非線形偏微分方程式 / 力学系

研究概要

ギンヅブルグ・ランダウ方程式の平衡状態における渦糸(領域が2次元のときは渦点)の配置の問題は非常に重要な問題で,数学的にも興味深い問題を提供している。森田と神保は,あるパラメータの特異極限で,渦点の運動を記述する方程式を導き,詳しい解析を行った。これによって渦点の衝突・消滅の仕方がかなり明らかになり,平衡状態における渦点の可能な配置についても大きな情報が得られた。
このような渦点の運動の研究は,反応拡散系に現われる遷移層の運動の問題と通じる部分が有り,森田は巳本との研究で,遷移層の衝突・消滅を新しい手法で調べ過去の結果より精密な評価を得た。また,池田はその共同研究者と遷移層を表わす解やパルス解の分岐構造について詳細な結果を得ている。二宮はその共同研究者と,特異極限で現われる遷移層のダイナミクスを記述した運動方程式について新しい成果を得た。
渦点の場合,特異極限の運動は常微分方程式で記述される。常微分方程式の解の時間的な変化を研究するためには,力学系の研究が欠かせない。森田はDockeryやPernarowskiとの研究で,力学系に現われるホモクリニック軌道の新しいタイプの分岐について,その構造を調べている。
ギンヅブルグ・ランダウ方程式の定常問題は楕円型方程式になる。四ツ谷とその共同研究者達は,楕円型方程式の解の構造についての研究を発展させ,色々な新しい成果を得ている。これらは将来,ギンヅブルグ・ランダウ方程式の研究にも通じると期待できる。

研究成果

• [文献書誌] Jimbo,S.,Morita,Y.: "Notes on the limit equation of vortex motion for the Ginzburg-Landau equation with Neumann condition"Japan Journal of Applied Mathematics. Vol.18,No.2(掲載予定). (2001)
• [文献書誌] Morita,Y.,Mimoto,Y.: "Collision and collapse of layers in a 1-D scalar reaction-diffusion equation"Physica D. Vol.140,No1-2. 151-170 (2000)
• [文献書誌] Morita,Y.,Dockery,J.,Pernarowski,M.: "Symmetry breaking homoclinic bifurcations in diffusively coupled equations"Journal of Dynamics and Differential Equations. (掲載予定).
• [文献書誌] Ikeda,H.,Ikeda,T.: "Bifurcation phenomena from standing pulse solutions of bistable reaction-diffusion systems"Journal of Dynamics and Differential Equations. Vol.12,No.1. 117-167 (2000)
• [文献書誌] Ikeda,T.,Ikeda,H.,Mimura,M.: "Hopf bifurcation of traveling pulses in some bistable reaction-diffusion systems"Methods and Applied Analysis. Vol.7,No.1. 165-194 (2000)
• [文献書誌] Mimura,M.,Nagayama,M.,Ikeda,H.,Ikeda,T.: "Dynamics of traveling breathers arising in reaction-diffusion systems-ODE modeling approach-"Hiroshima Mathematical Journal. (掲載予定).
• [文献書誌] Morishita,H.,Yanagida,E.,Yotsutani,S.: "Structure change of solutions for a scalar curvature equation"Differential Integral Equations. Vol.14,No.3(掲載予定). (2001)
• [文献書誌] Yanagida,E.,Yotsutani,S.: "A unified approach to the structure of radial solutions for semilinear elliptic problems"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. Vol.18,No.2(掲載予定). (2001)
• [文献書誌] Jimbo,S.,Zhai,J.: "Domain perturbation method and local minimizers to Ginzburg-Landau functional with magnetic effect"Abstract and Applied Analysis. (掲載予定).
• [文献書誌] Ninomiya,H.,Taniguchi,M.: "Traveling curved fronts of a mean curvature flow with constant driving force"Gakuto International Series.Mathematical Sciences and Applications. Vol.13. 206-221 (2000)
• [文献書誌] Kabeya,Y.,Morishita,H.,Ninomiya,H.: "Imperfect bifurcations arising from elliptic boundary value problems"Nonlinear Analysis : Theory, Methods & Applications. (掲載予定).
• [文献書誌] Hilhorst,D.,Iida,M.,Mimura,M.Ninomiya,H.: "A competition-diffusion system approximation to the classical two-phase Stefan problem"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. (掲載予定).