| 研究概要 |
本年度は、グラフGのA-被覆グラフと、対称有向グラフDのg-巡回的A-被覆のΓ-同型類の数え上げについて、明星大学の水野弘文教授と議論しつつ、研究を進めた。
1 g-巡回的A-被覆について、以下の結果を得た。
(1) 有限アーベル群Aとg,h∈Aに対して、2つのg-巡回的A-被覆とh-巡回的A-被覆がΓ-同型であるための必要十分条件を与えた。これから、偶数位数の元g∈Aに対して、Γ同型なg-巡回的A-被覆の特徴付けが得られた。また、gの位数が2のとき、g-巡回的A-被覆とA-被覆グラフのΓ-同型類の個数が等しいことを示し、g-巡回的Z_2^n-被覆のI-同型類の個数を数え上げた。さらに、対称的2部有向グラフDについて、そのg-巡回的Z_<2n>-被覆のI-同型類の個数を表す、一つの公式を得た。
(2) g-巡回的Z_p^2-被覆(p>2: 素数)のΓ-同型類の個数を決定した。
(1),(2)は、ともに、日本数学会にて発表し、論文にまとめて投稿した。(2)は、最近、Yokohama Math Journalに掲載された。
2 被覆グラフについては、一般線形群GL_2(Z_p)の共役類を利用して、Z_p×Z_p-被覆グラフのΓ-同型類の個数を数え上げ、論文にして投稿した。シンポジウムか日本数学会で発表する予定。
3 被覆グラフの数え上げから少し外れるけれども、前回の科研費補助金基盤研究(C)の目標であった、グラフGの正則被覆グラフ(A-被覆グラフ)の特性多項式の分解公式の応用として、正則被覆グラフのzeta関数の一つの分解公式を、群の表現の性質を用いて与えた。また、GとAの既約表現について、一つのL-関数を定義し、正則被覆グラフのzeta関数を、Aの既約表現に関する、L-関数の積で表現した。日本数学会にて発表し、論文にして投稿中。
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