変分問題に関連する偏微分方程式の離散勾配流を用いた数理解析

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640159
• 研究機関: 金沢大学
• 研究代表者: 小俣 正朗 金沢大学, 理学部, 助教授 (20214223)
• 研究分担者: 藤本 坦孝 金沢大学, 理学部, 教授 (60023595) ; 一瀬 孝 金沢大学, 理学部, 教授 (20024044) ; 林田 和也 金沢大学, 理学部, 教授 (70023588) ; 後藤 俊一 金沢大学, 理学部, 助教授 (30225651) ; 田村 博 金沢大学, 理学部, 助教授 (80188440)
• キーワード: 変分問題 / 自由境界 / 非線形偏微分方程式 / 数値解析 / 最小化法

研究概要

変分問題の数値解析を中心に研究を行ってきた。現在数値解析法の整備を行っている。目的は、解の特異点等「定義域より低い次元の集合」を見いだすにたる、数値解析プログラムの作成を行うことが目標でる。研究は補助金のおかげと、研究分担者の協力により、順調に終了した。
また、低温超伝導のモデル方程式であるGinzburg-Landauエネルギーを、magnetic thin filmにおける、magnetic wallの形状の問題、また、smestics liquid crystalsの問題に応用して解析を行った。これらの現象が、が、eikonal方程式の解の特異点として特徴づけられるのである。これらのある種の極限における特異点集合の構造を数値計算によって予測することが出来た。
また、並列計算機を用いて、3次元数値計算を行う環境を整えつつある。一部プログラムは順調に動作しており、大規模計算ではメモリーの節約により、パソコンでも動く環境を新たに構築した。
さらに、双曲型自由境界問題に対しても変分法に基づくプログラムを開発し、2次元の解の挙動を数値的に知ることが出来た。また、BBM-Burgers方程式について、孤立波解の漸近挙動をしらべ、非線形項のオーダーによって、熱型、Burgers方程式の解に近づいていく早さを求めることが出来た。
以上の成果を、学術誌掲載(予定も含む)8報にまとめることができた。
今後の課題として、より高次元の問題への対処を行うこと、安定性の議論などの整備が考えられる。

研究成果

• [文献書誌] K.Kikuchi,S.Omata: "A free boundary problem for a one dimensional hyperbolic equation"Adv.Math.Sci.Appl.. 10 No.1. 775-786 (1999)
• [文献書誌] S.Omata,Y.Yamaura: "A free boundary problem for quasilinear elliptic equations part II : C^<1.a>"-regularity of free boundary"Funkcialaj Ekvacioj. 42 No.1. 9-70 (1999)
• [文献書誌] S.Omata,T.Okamura,K.Nakane: "Numerical analysis for the discrete Morse semiflow related to the Ginzburg Landau functional"Nonlinear Analysis. 37 No.5. 589-602 (1999)
• [文献書誌] S.Kinami,M.Mei,S.Omata: "Asymptotic Toward Diffusion Waves of the Solutions for Benjamin- Bona- Mahony- Burgers Equations"Applicable Analysis. 75(3-4). 317-340 (2000)
• [文献書誌] H.Imai,K.Kikuchi,K.Nakane,S.Omata,T.Tachikawa: "A Numerical Approach to the Asymptotic Bbehavior of Solutions of a One-Dimensional Free Boundary Problem of Hyperbolic Type"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 18(1). 41-56 (2001)
• [文献書誌] S.Omata,S.Kinami: "A numerical approach to the eikonal equation"Nonlinear Analysis. (to appear).
• [文献書誌] S.Omata,H.Iwasaki and K.Kawagoe: "Numerical calculations for the eikonal equation via the discrete Morse semiflow with Ginzburg-Landau energy"Adv.Math.Sci.Appl.. 11(2)(to appear). (2001)
• [文献書誌] T.Nagasawa,K.Nakane,S.Omata: "Hyperbolic Ginzburg Landau system"Nonliear Analysis. (to appear)