走化性を伴う生物モデルの解の爆発と凝縮について

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640174
• 研究機関: 宮崎大学
• 研究代表者: 仙葉 隆 宮崎大学, 工学部, 助教授 (30196985)
• 研究分担者: 川野 日郎 宮崎大学, 教育文化学部, 教授 (20040983) ; 壁屋 義継 宮崎大学, 工学部, 助教授 (70252757) ; 辻川 亨 宮崎大学, 工学部, 教授 (10258288)
• キーワード: 偏微分方程式 / 生物モデル / Keller-Segel系 / 爆発 / 走化性

研究概要

当該申請書には、1Keller-Segel系ならびに単純化されたKeller-Segel系の球対称な爆発解の研究、2Keller-Sege系の定常解に関する研究、3爆発点の位置に付いての研究、の三つの研究を本研究の目的として記載した。
1については、単純化されたKeller-Segel系の解が有限時刻で爆発するなら爆発時刻において解は爆発点にサポートを持つδ関数の有限和とL^1関数の和として表され、当該L^1関数は爆発点以外では連続となることが対称性の仮定なしで明らかになった。また、Keller-Segel系に関しても有限時刻で爆発する解は上記で述べた物と同様の性質を持つδ関数的な特異点が現れることが対称性の仮定なしに明らかになった。辻川が行った数値解析の結果は、本研究の方向を決める重要な情報となった。これらの結果はHiroshima Math.J.、Adv.in Differential Equations、J.Math.Bio.ならびに数理解析研究所講究録に発表予定である。
2についてはKeller-Segel系の解のL^1をパラメーターとして、非定数定常解が存在するパラメーター領域ならびに存在しないパラメーター領域に付いての結果が得られた。また、壁谷はKeller-Segel系の定常解の満たす方程式と関連する楕円型方程式の球対称解の一意性に付いて明らかにし、この結果はKeller-Segel系の定常解の構造を予想するために重要な結果となった。これらの結果はAdv.Math.Sci.App.とComm.Partial Differential Equationsにそれぞれ発表予定、発表した。
3に付いてはKeller-Segel系の球対称解が有限時刻で爆発するとき爆発点が領域の中心のみに現れる事を明らかにした。また、定常解の列が爆発するときの爆発点の位置が領域の形状に依存することならびに爆発点に凝縮するL^1量が方程式によって定まる量に限られると言うことが明らかになった。このことは、Keller-Segel系に関する我々の予想を肯定する証拠の一つとなる。これらの結果は前述のAdv.in Differential Equations、Adv.Math.Sci.App.において発表予定の論文にまとめた。

研究成果

• [文献書誌] Takasi Senba: "Chemotactic collapse in a parabolic system of mathematical biology"Hiroshima Math.J.. (発表予定).
• [文献書誌] Takasi Senba: "Some strustures of thesolution set for a stationary system of chemotaxis"Adv.Math.Sci.Appl.. (発表予定).
• [文献書誌] Takasi Senba: "Chemotactic collapse in a parabolic-elliptic system of mathematical biology"Adv.in Cifferential Equations. (発表予定).
• [文献書誌] Takasi Senba: "Local and norm behavior of blow up solutions to a parabolic system of chemo-taxis"J.Korean Math.Soc.. (発表予定).
• [文献書誌] Mitsuo Funaki: "Travelling front solutions arising in a chemotaxis-growth model"J.Math.Biol.. (発表予定).
• [文献書誌] Tohru Tujikawa: "走化性モデル方程式に於ける2次元パターンについて"数理解析研究所講究録. (発表予定).
• [文献書誌] Yoshitsugu Kabeya: "Uniqueness of positive radial solutions of semilinear elliptic equations in R^N and Sere's non-degeneracy condition"Comm.Partial Differential Equations. 24. 563-598 (1999)
• [文献書誌] Yoshitsugu Kabeya: "Eigenvalue problems in the whole space with radially symmetric weight"Comm.Partial Differential Equations. 24. 1127-1166 (1999)