| 研究分担者 |
近藤 武 東京女子大学, 文理学部, 教授 (20012338)
小林 一章 東京女子大学, 文理学部, 教授 (50031323)
宮地 晶彦 東京女子大学, 文理学部, 教授 (60107696)
山島 成穂 東京女子大学, 文理学部, 助教授 (80086347)
篠原 昌彦 東京女子大学, 文理学部, 教授 (70086346)
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| 研究概要 |
D加群とは微分作用素環上の加群の総称であり,具体的には線型偏微分方程式系に対応する.D加群については1970年代からの佐藤・柏原・河合らの研究によって高度な理論体系が構築されていたが,具体的な計算方法についてのまとまった研究は最近までなされていなかった。このような状況の下で高山信毅氏と本研究代表者は,多項式環についてはその有用性が既に広く認知されているGrobner基底の方法を微分作用素環に適用することによって,D加群に対する種々の演算(関手)のアルゴリズムが得られることを見出した。
その際中心的な役割を果たすのは,与えられた重みベクトル(の定めるフィルター)に適合した自由分解の計算であるが,実例の計算における自由分解は一般に非常に大きく,しばしばメモリ不足で計算不能に陥る。斉次化Weyl代数(微分作用素環)は非可換ではあるが、多項式環と同様に極小自由分解の概念が定義できることに着目し,特に与えられた重みベクトルに適合した極小自由分解の概念を定義し,かつその計算アルゴリズムを得た.このアルゴリズムは高山信毅氏により数式処理システムKanにインプリメントされ,インターネットで公開されている.この極小自由分解の計算アルゴリズムによって,従来はアルゴリズムは存在するが計算量が大きく実用化が阻まれていた,積分と制限に付随した高次コホモロジー群,代数的de Rhamコホモロジー群,代数的局所コホモロジー群などの計算が著しく効率化された.これによって今後D加群のアルゴリズムの実用化が促進されるものと期待される.
またホロノミック系の有理関数解を求めるアルゴリズムをH.Tsai氏,高山氏との共同研究で見出した.その際,一般化されたb関数を求める大阿久によるアルゴリズムが有効に用いられた.
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